京都大学 1999年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) $$u_n=a_n+b_n,v_n=a_n-b_n$$とおく。二つの漸化式を加減すると$$u_{n+1}=\alpha v_n(u_n-1),v_{n+1}=\alpha u_n(u_n+v_n)$$を得る。初項は$$u_1=2,v_1=0$$である。

従って$$u_2=0,v_2=4\alpha ,$$なので$$a_2=2\alpha ,b_2=-2\alpha \mathrm{.}$$次に$$u_3=-4{\alpha }^2,v_3=0,$$従って$$a_3=b_3=-2{\alpha }^2\mathrm{.}$$さらに$$u_4=0,v_4=16{\alpha }^5,$$従って$$a_4=8{\alpha }^5,b_4=-8{\alpha }^5\mathrm{.}$$(2) 一般に $u_{2n}=0$ なら $v_{2n+1}=0$、また $v_{2n+1}=0$ なら $u_{2n+2}=0$ である。初期値から数学的帰納法により$$u_{2n}=0,v_{2n+1}=0$$がすべての $n\geqq 1$ で成り立つ。特に$$b_{2n}=-a_{2n}\mathrm{.}$$これを $a_{n+1}$ の漸化式に代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 2a_{2n+1}}& {\displaystyle =\alpha \{3a_{2n}^2-2a_{2n}^2-a_{2n}^2-a_{2n}-a_{2n}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-2\alpha a_{2n}\mathrm{.}}\end{array}$$従って$${\displaystyle \frac{a_{2n+1}}{a_{2n}}}=-\alpha \mathrm{.}$$$\alpha >0$ で初期値から各 $a_{2n}\mathrm{\ne }0$ なので、この比は常に定義される。

数列が「$a=b$ の状態」と「$a=-b$ の状態」を交互に移ることを元の漸化式へ直接代入して示す。和差の一般式を作らず、2状態の遷移だけから初期値と比を求める。

(1)
元の漸化式へ $a_1=b_1=1$ を直接代入して$$a_2=2\alpha ,b_2=-2\alpha \mathrm{.}$$一般に $a=A,b=-A$ を代入すると次の項は$$a^{\mathrm{\prime }}=-\alpha A,b^{\mathrm{\prime }}=-\alpha A,$$また $a=b=C$ を代入すると$$a^{\mathrm{\prime }}=2\alpha C^2,b^{\mathrm{\prime }}=-2\alpha C^2\mathrm{.}$$従って$$a_3=b_3=-2{\alpha }^2,$$$$a_4=8{\alpha }^5,b_4=-8{\alpha }^5\mathrm{.}$$(2)
上の2状態の遷移により、全ての $n\geqq 1$ で$$b_{2n}=-a_{2n},a_{2n+1}=b_{2n+1}$$が帰納的に成り立つ。特に $a_{2n}=A$ と置いた直後は$$a_{2n+1}=-\alpha A\mathrm{.}$$従って$${\displaystyle \frac{a_{2n+1}}{a_{2n}}}=-\alpha \mathrm{.}$$$\alpha >0$ かつ初期値から各偶数項は0でないため、この比は常に定義される。