京都大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

位置ベクトルを$$\mathit{a}=\overrightarrow{OA},\mathit{b}=\overrightarrow{OB},\mathit{c}=\overrightarrow{OC},\mathit{d}=\overrightarrow{OD}$$とおく。すべて長さ1で$$\mathit{a}+\mathit{b}+\mathit{c}+\mathit{d}=\mathbf{0}\mathrm{.}$$(1)$$\mathit{a}+\mathit{b}=-(\mathit{c}+\mathit{d})$$だから両辺の長さの二乗を比較して$$2+2\mathit{a}\cdot \mathit{b}=2+2\mathit{c}\cdot \mathit{d}\mathrm{.}$$従って$$\mathit{a}\cdot \mathit{b}=\mathit{c}\cdot \mathit{d}$$であり、$$A{B}^2=\mathrm{\mid }\mathit{b}-\mathit{a}{\mathrm{\mid }}^2=2-2\mathit{a}\cdot \mathit{b}=2-2\mathit{c}\cdot \mathit{d}=C{D}^2\mathrm{.}$$よって$AB=CD$である。

(2)
$B^{\mathrm{\prime }},D^{\mathrm{\prime }}$の位置ベクトルは$-\mathit{b},-\mathit{d}$である。元の和から$$\mathit{a}+\mathit{c}=-(\mathit{b}+\mathit{d})=\overrightarrow{O{B}^{\mathrm{\prime }}}+\overrightarrow{O{D}^{\mathrm{\prime }}}\mathrm{.}$$従って線分$AC$と$B^{\mathrm{\prime }}{D}^{\mathrm{\prime }}$の中点は一致し、四角形$A{B}^{\mathrm{\prime }}C{D}^{\mathrm{\prime }}$は平行四辺形である。

また同様に$$\mathrm{\mid }\mathit{c}-\mathit{a}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\mathit{b}-\mathit{d}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }(-\mathit{d})-(-\mathit{b})\mathrm{\mid },$$すなわち2本の対角線$AC,B^{\mathrm{\prime }}{D}^{\mathrm{\prime }}$は等しい。対角線が等しい平行四辺形は長方形である。4点が相異なるという仮定により退化しないので、$A,B^{\mathrm{\prime }},C,D^{\mathrm{\prime }}$はこの順に長方形の頂点である。

対蹠点を取った4点がまず平行四辺形になることを、対角線の中点一致で示す。4点はもとの単位球面上にあり、同時にその平行四辺形を含む平面上にあるので、一つの円に乗る。円に内接する平行四辺形では対角の和が ${180}^{\circ }$ かつ対角が等しいため、各角が直角になる。

位置ベクトルを$$\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{d}$$とし、$$\mathit{a}+\mathit{b}+\mathit{c}+\mathit{d}=\mathbf{0},\mid \mathit{a}\mid =\cdots =\mid \mathit{d}\mid =1$$とする。

(1) $$\mathit{a}+\mathit{b}=-(\mathit{c}+\mathit{d})$$の両辺の長さを2乗すると従ってよって $AB=CD$ である。

(2)
$B^{\mathrm{\prime }},D^{\mathrm{\prime }}$ の位置ベクトルは $-\mathit{b},-\mathit{d}$ である。仮定から$$\mathit{a}+\mathit{c}=-\mathit{b}-\mathit{d}$$なので、線分 $AC$ と $B^{\mathrm{\prime }}{D}^{\mathrm{\prime }}$ の中点は一致する。従って四角形 $A{B}^{\mathrm{\prime }}C{D}^{\mathrm{\prime }}$ は平行四辺形である。

4点 $A,B^{\mathrm{\prime }},C,D^{\mathrm{\prime }}$ はすべて単位球面上にあり、平行四辺形を含む一つの平面上にもある。この平面と球面の交わりは円だから、4点は同一円周上にある。円に内接する四角形の対角の和は ${180}^{\circ }$ であり、平行四辺形の対角は等しい。従って各対角は ${90}^{\circ }$ である。4点は相異なるので退化せず、$$A,B^{\mathrm{\prime }},C,D^{\mathrm{\prime }}$$はこの順に長方形の頂点となる。