京都大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
正四面体の一辺の長さは1である。座標を $$O=(0,0,0),A=(1,0,0),$$ $$B=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},0),C=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}},\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}})$$とおく。このとき $OA,OB,OC,AB,BC,CA$ はすべて長さ1である。

点 $P$ は辺 $BC$ 上にあり、$BP=x$ である。$BC=1$ だから $0\leqq x\leqq 1$ であり、$P=(1-x)B+xC$ と表せる。したがって $$P=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}(3-2x)}{6}},x\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}})$$ である。

直線 $OA$ は $x$ 軸である。よって点 $P$ から直線 $OA$ までの距離の2乗は、$P$ の第2、第3座標の2乗和で ${\left\{{\displaystyle \frac{\sqrt{3}(3-2x)}{6}}\right\}}^2+{\left(x\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}}\right)}^2$ である。これを整理すると$${\displaystyle \frac{(3-2x{)}^2}{12}}+{\displaystyle \frac{2x^2}{3}}={\displaystyle \frac{9-12x+4x^2+8x^2}{12}}=x^2-x+{\displaystyle \frac{3}{4}}$$となる。底辺 $OA$ の長さは1なので、三角形 $OAP$ の面積は ${\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{x^2-x+{\displaystyle \frac{3}{4}}}$ である。

(2) $$x^2-x+{\displaystyle \frac{3}{4}}={(x-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。$0\leqq x\leqq 1$ において右辺は $x=1\mathrm{/}2$ のとき最小となり、その最小値は $1\mathrm{/}2$ である。したがって三角形 $OAP$ の面積の最小値は $${\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}}$$ である。

座標を置かず、正四面体の面 $OBC$ と $ABC$ に Stewart の定理を用いて $OP=AP$ を求める。二等辺三角形 $OAP$ の高さへ帰着して面積を出す。

(1)
$BC=1,BP=x,PC=1-x$ である。三角形 $OBC$ は正三角形なので、Stewart の定理より$$O{P}^2=(1-x)O{B}^2+xO{C}^2-x(1-x)B{C}^2=1-x(1-x)=x^2-x+1.$$同じく三角形 $ABC$ も正三角形だから$$A{P}^2=x^2-x+1.$$従って三角形 $OAP$ は $OP=AP$、底辺 $OA=1$ の二等辺三角形である。$P$ から $OA$ へ下ろした垂線の長さを $h$ とすると$$h^2=O{P}^2-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2=x^2-x+{\displaystyle \frac{3}{4}}\mathrm{.}$$よって面積は$${\displaystyle \frac{1}{2}}h={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{x^2-x+{\displaystyle \frac{3}{4}}}\mathrm{.}$$(2)$$x^2-x+{\displaystyle \frac{3}{4}}={(x-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}$$だから、$0\leqq x\leqq 1$ で最小となるのは $x=1\mathrm{/}2$ のときである。従って最小面積は$${\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}}\mathrm{.}$$