京都大学 1999年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

三角形 $ABC$ の辺長を$$BC=a,CA=b,AB=c$$とする。鋭角三角形なので余弦定理より$$b^2+c^2-a^2>0,c^2+a^2-b^2>0,a^2+b^2-c^2>0.$$そこで正数 $x,y,z$ を$$x^2={\displaystyle \frac{b^2+c^2-a^2}{8}},y^2={\displaystyle \frac{c^2+a^2-b^2}{8}},z^2={\displaystyle \frac{a^2+b^2-c^2}{8}}$$で定める。

空間内に4点$$\begin{array}{rlrl}{\displaystyle P_1}& {\displaystyle =(x,y,z),}& {\displaystyle P_2}& {\displaystyle =(x,-y,-z),}\\ {\displaystyle P_3}& {\displaystyle =(-x,y,-z),}& {\displaystyle P_4}& {\displaystyle =(-x,-y,z)}\end{array}$$をとる。例えば$$\mathrm{\mid }{P}_1{P}_2\mathrm{\mid }=2\sqrt{y^2+z^2}=a,$$同様に$$\mathrm{\mid }{P}_1{P}_3\mathrm{\mid }=b,\mathrm{\mid }{P}_1{P}_4\mathrm{\mid }=c\mathrm{.}$$さらに向かい合う辺も$$\mathrm{\mid }{P}_3{P}_4\mathrm{\mid }=a,\mathrm{\mid }{P}_2{P}_4\mathrm{\mid }=b,\mathrm{\mid }{P}_2{P}_3\mathrm{\mid }=c$$となる。

従って四面体 $P_1{P}_2{P}_3{P}_4$ の各面は、いずれも三辺の長さが $a,b,c$ の三角形である。三辺相等により各面は $\mathrm{△}ABC$ と合同である。$x,y,z>0$ なので4点は同一平面上になく、確かに四面体をなす。

三つの正数 $x,y,z$ を互いに直交する3方向の長さとみなし、直方体の互い違いの4頂点を選ぶ。向かい合う辺が等しい四面体になり、全ての面の三辺が元の三角形と一致することを幾何的に確認する。

$\mathrm{△}ABC$ の三辺を $a,b,c$ とする。鋭角条件より$$b^2+c^2-a^2>0,c^2+a^2-b^2>0,a^2+b^2-c^2>0.$$正数 $x,y,z$ を$$4(y^2+z^2)=a^2,4(z^2+x^2)=b^2,4(x^2+y^2)=c^2$$で定めると、解は$$x^2={\displaystyle \frac{b^2+c^2-a^2}{8}}$$およびその巡回形であり、全て正である。

互いに直交する3方向を座標軸として、直方体の4頂点$$(x,y,z),(x,-y,-z),(-x,y,-z),(-x,-y,z)$$を選ぶ。各辺の長さは$$2\sqrt{y^2+z^2}=a,2\sqrt{z^2+x^2}=b,2\sqrt{x^2+y^2}=c$$のいずれかで、向かい合う辺は等しい。従って4面は全て三辺 $a,b,c$ の三角形であり、$\mathrm{△}ABC$ と合同である。