京都大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

$$PA=r_1,PB=r_2,AB=d$$ とおく。三角形 $APB$ に余弦定理を用いると $$d^2=r_1^2+r_2^2-2\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$$ である。したがって $$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}={\displaystyle \frac{r_1^2+r_2^2-d^2}{2}}$$ となる。

これを条件$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{PA}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\overrightarrow{PB}\mathrm{\mid }+\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=c$$に代入すると $$r_1{r}_2+{\displaystyle \frac{r_1^2+r_2^2-d^2}{2}}=c$$ である。両辺を2倍して整理すると $$r_1^2+2r_1{r}_2+r_2^2=d^2+2c$$ すなわち $(r_1+r_2{)}^2=d^2+2c$ である。$r_1+r_2\geqq 0$ だから $$PA+PB=r_1+r_2=\sqrt{d^2+2c}$$ である。

ここで $c>0$ より $$\sqrt{d^2+2c}>d=AB$$ である。したがって、$A\mathrm{\ne }B$ のとき、点 $P$ の軌跡は2点 $A,B$ を焦点とし、距離の和が $\sqrt{A{B}^2+2c}$ に等しい楕円である。すなわち $$PA+PB=\sqrt{A{B}^2+2c}\text{ を満たす楕円}$$ である。

なお、もし $A=B$ の場合には $PA=PB$ であり、条件は $P{A}^2+P{A}^2=c$ となるので、軌跡は点 $A$ を中心とする半径 $\sqrt{c\mathrm{/}2}$ の円である。これは焦点が一致した場合の特別な形と見られる。

焦点を座標軸上に置き、距離の和が一定であることから楕円の標準形まで導く。単に「楕円」と命名するだけでなく、長半径・短半径を $AB,c$ で表して軌跡を可視化する。

$AB=d$ とし、座標を$$A=(-d\mathrm{/}2,0),B=(d\mathrm{/}2,0)$$と取る。条件は距離の和$$PA+PB=2a,2a=\sqrt{d^2+2c}$$と同値である。$P=(x,y)$ として$$\sqrt{(x+d\mathrm{/}2{)}^2+y^2}+\sqrt{(x-d\mathrm{/}2{)}^2+y^2}=2a$$を2回平方して整理すると$${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{a^2-d^2\mathrm{/}4}}=1.$$$c>0$ より$$a^2-{\displaystyle \frac{d^2}{4}}={\displaystyle \frac{c}{2}}>0.$$従って $A\mathrm{\ne }B$ のとき、軌跡は焦点 $A,B$、長半径$$a={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{A{B}^2+2c},$$短半径 $\sqrt{c\mathrm{/}2}$ の楕円である。$A=B$ なら同じ式は半径 $\sqrt{c\mathrm{/}2}$ の円になる。