京都大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

与えられた式が定義されるためには $$x\mathrm{\ne }\pm a,x\mathrm{\ne }\pm b$$ でなければならない。

左辺の2項をまとめると$${\displaystyle \frac{x-b}{x+a}}-{\displaystyle \frac{x-a}{x+b}}={\displaystyle \frac{(x-b)(x+b)-(x-a)(x+a)}{(x+a)(x+b)}}={\displaystyle \frac{a^2-b^2}{(x+a)(x+b)}}$$である。また右辺は$${\displaystyle \frac{x+a}{x-b}}-{\displaystyle \frac{x+b}{x-a}}={\displaystyle \frac{(x+a)(x-a)-(x+b)(x-b)}{(x-b)(x-a)}}={\displaystyle \frac{b^2-a^2}{(x-b)(x-a)}}$$である。したがって「左辺 $>$ 右辺」は $${\displaystyle \frac{a^2-b^2}{(x+a)(x+b)}}+{\displaystyle \frac{a^2-b^2}{(x-b)(x-a)}}>0$$ と同値である。通分すると $$(a^2-b^2){\displaystyle \frac{(x-b)(x-a)+(x+a)(x+b)}{(x^2-a^2)(x^2-b^2)}}>0$$ であり、分子の和は $$(x-b)(x-a)+(x+a)(x+b)=2(x^2+ab)$$ である。よって求める不等式は $${\displaystyle \frac{2(a^2-b^2)(x^2+ab)}{(x^2-a^2)(x^2-b^2)}}>0$$ と同値である。

まず $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }$ の場合を調べる。$a\mathrm{\ne }b$ なのでこの場合は $a=-b$ であり、$a^2-b^2=0$ となる。すると両辺の差は常に $0$ で、厳密な不等式は成り立たない。したがって解はない。

以下、$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }$ とする。$y=x^2$ とおくと $y\geqq 0$ であり、符号を調べるべき式は ${\displaystyle \frac{(a^2-b^2)(y+ab)}{(y-a^2)(y-b^2)}}$ である。

(i) $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid },ab>0$ のとき。
このとき $a^2-b^2>0$、また $y+ab>0$ である。したがって $(y-a^2)(y-b^2)>0$ が必要十分である。$b^2<a^2$ なので $$y<b^2\text{または}{a}^2<y$$ である。すなわち $$x^2<b^2\text{または}{a}^2<x^2$$ である。

(ii) $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid },ab<0$ のとき。 $h=-ab$ とおくと $h>0$ で、$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }$ より $b^2<h<a^2$ である。符号を $y$ の区間で調べると、正になるのは $$b^2<y<h\text{または}{a}^2<y$$ である。したがって $$b^2<x^2<-ab\text{または}{a}^2<x^2$$ である。

(iii) $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }<\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid },ab>0$ のとき。
このとき $a^2-b^2<0$、また $y+ab>0$ である。よって分母が負であればよい。$a^2<b^2$ だから $a^2<y<b^2$ であり、$a^2<x^2<b^2$ である。

(iv) $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }<\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid },ab<0$ のとき。 $h=-ab$ とおくと、今度は $a^2<h<b^2$ である。符号を調べると正になるのは $$y<a^2\text{または}h<y<b^2$$ である。したがって $$x^2<a^2\text{または}-ab<x^2<b^2$$ である。

以上が求める範囲である。すべての不等号は厳密であり、$x=\pm a,\pm b$ はもともと定義域から除かれている。

通分後に $y=x^2$ と置き、零点 $a^2,b^2,-ab$ の並びを1枚の符号表にする。係数 $a^2-b^2$ の符号も含めて4場合を表形式で読み取る。

定義域は$$x\mathrm{\ne }\pm a,x\mathrm{\ne }\pm b$$である。両辺の差を通分すると$${\displaystyle \frac{2(a^2-b^2)(x^2+ab)}{(x^2-a^2)(x^2-b^2)}}$$となる。

$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }$ なら、$a\mathrm{\ne }b$ より $a=-b$ であり、分子が0になるので解はない。

以下 $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }$ とし、$y=x^2\geqq 0$ とおく。調べる式は$${\displaystyle \frac{(a^2-b^2)(y+ab)}{(y-a^2)(y-b^2)}}$$である。零点と極を小さい順に並べて符号を読むと、次の表を得る。$$\begin{array}{cc}\text{条件}& y=x^2\text{ の範囲}\\ \mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid },ab>0& 0\leqq y<b^2\text{ または }{a}^2<y\\ \mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid },ab<0& b^2<y<-ab\text{ または }{a}^2<y\\ \mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }<\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid },ab>0& a^2<y<b^2\\ \mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }<\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid },ab<0& 0\leqq y<a^2\text{ または }-ab<y<b^2\end{array}$$従って答えは$$\begin{array}{cc}\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid },ab>0& x^2<b^2\text{ または }{a}^2<x^2\\ \mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid },ab<0& b^2<x^2<-ab\text{ または }{a}^2<x^2\\ \mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }<\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid },ab>0& a^2<x^2<b^2\\ \mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }<\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid },ab<0& x^2<a^2\text{ または }-ab<x^2<b^2\end{array}$$である。すべて厳密不等号であり、定義されない点も含まれない。