京都大学 1998年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

$f_i$は$A_i$を通らない直線を表すので$$d_i=f_i(A_i)\mathrm{\ne }0$$である。そこで$${\lambda }_i(X)={\displaystyle \frac{f_i(X)}{d_i}}(i=1,2,3)$$とおく。${\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3$は一次式で、各$A_j$で1となる。3点は同一直線上にないので$${\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3=1$$が平面全体で成り立つ。また点$X$の位置ベクトルは$$X={\lambda }_1{A}_1+{\lambda }_2{A}_2+{\lambda }_3{A}_3$$と表される。

辺長を$$a=\mathrm{\mid }{A}_2{A}_3\mathrm{\mid },b=\mathrm{\mid }{A}_3{A}_1\mathrm{\mid },c=\mathrm{\mid }{A}_1{A}_2\mathrm{\mid }$$とする。位置ベクトルの内積を展開すると$$\mathrm{\mid }X{\mathrm{\mid }}^2-\sum _{i=1}^3{\lambda }_i\mathrm{\mid }{A}_i{\mathrm{\mid }}^2=-(c^2{\lambda }_1{\lambda }_2+a^2{\lambda }_2{\lambda }_3+b^2{\lambda }_3{\lambda }_1)\mathrm{.}$$左辺は$\mathrm{\mid }X{\mathrm{\mid }}^2$から$x,y$の一次式を引いた形であり、$x^2+y^2+\mathrm{\ell }x+my+n=0$という円の方程式である。また$X=A_i$を代入すると左辺は0になるから、この円は$A_1,A_2,A_3$を通る。従ってその円は$$c^2{\lambda }_1{\lambda }_2+a^2{\lambda }_2{\lambda }_3+b^2{\lambda }_3{\lambda }_1=0$$で表される。

${\lambda }_i=f_i\mathrm{/}{d}_i$を代入し、全体を$d_3{d}_1\mathrm{/}{b}^2$倍すると$${\displaystyle \frac{c^2{d}_3}{b^2{d}_2}}{f}_1{f}_2+{\displaystyle \frac{a^2{d}_1}{b^2{d}_2}}{f}_2{f}_3+f_3{f}_1=0.$$従って$$u={\displaystyle \frac{c^2{d}_3}{b^2{d}_2}},v={\displaystyle \frac{a^2{d}_1}{b^2{d}_2}}$$と選べばよい。

平行移動・回転後に $A_1=(0,0),A_2=(c,0),A_3=(p,q)$ と置き、3辺の一次式を具体化する。二次式の $xy$ 項を0、$x^2,y^2$ の係数を等しくする連立方程式から実数 $u,v$ を構成する。

平行移動と回転により$$A_1=(0,0),A_2=(c,0),A_3=(p,q)$$と置く。ただし $c\mathrm{\ne }0,q\mathrm{\ne }0$ である。各辺を表す一次式を、定数倍を除いて$${\mathrm{\ell }}_1=qx+(c-p)y-qc,{\mathrm{\ell }}_2=qx-py,{\mathrm{\ell }}_3=y$$と取れる。$$U{\mathrm{\ell }}_1{\mathrm{\ell }}_2+V{\mathrm{\ell }}_2{\mathrm{\ell }}_3+{\mathrm{\ell }}_3{\mathrm{\ell }}_1=0$$の二次部分を展開する。$xy$ の係数を0にする条件は$$U(c-2p)+V+1=0,$$$x^2,y^2$ の係数を等しくする条件は$$U{q}^2=Up(p-c)-Vp+c-p\mathrm{.}$$これを解くと$$U={\displaystyle \frac{c}{p^2+q^2}},V=-{\displaystyle \frac{(p-c{)}^2+q^2}{p^2+q^2}}\mathrm{.}$$この選択では二次部分が $U{q}^2(x^2+y^2)$ となり、その係数は0でない。従って方程式は円を表す。

また $A_1$ では ${\mathrm{\ell }}_2={\mathrm{\ell }}_3=0$、$A_2$ では ${\mathrm{\ell }}_1={\mathrm{\ell }}_3=0$、$A_3$ では ${\mathrm{\ell }}_1={\mathrm{\ell }}_2=0$ だから、この円は3頂点を通る。

実際の $f_i$ は $f_i=k_i{\mathrm{\ell }}_i$（$k_i\mathrm{\ne }0$）と書ける。上の方程式全体を定数倍して $f_3{f}_1$ の係数を1に規格化すれば、対応する実数 $u,v$ が得られる。