京都大学 1996年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1)
2直線の交点を$O$とする。$l$に関する反転に続く$m$に関する反転は、$O$を中心とする${120}^{\circ }$回転である。従って$P_2,P_3,P_4$は$P_1$をそれぞれ${120}^{\circ },{240}^{\circ },{360}^{\circ }$回転した点であり、$P_4=P_1$である。
(2)
$l$の方向角を0、$P_1$の偏角を$\varphi$とする。反転で結ばれる2点間の距離は反転軸までの距離の2倍なので、全長は$$L=2\sum _{j=0}^5\mathrm{\mid }\sin (\varphi +{60}^{\circ }j)\mathrm{\mid }=4\sum _{j=0}^2\mathrm{\mid }\sin (\varphi +{60}^{\circ }j)\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$周期性から$0\leqq \varphi \leqq {60}^{\circ }$を調べればよく、この区間では3項は非負で、和は$$\sin \varphi +\sin (\varphi +{60}^{\circ })+\sin (\varphi +{120}^{\circ })=2\sin (\varphi +{60}^{\circ })\leqq 2.$$等号は$\varphi ={30}^{\circ }$で成り立つから、最大値は$$8.$$

2直線を座標軸に合わせ、鏡映行列の積が ${120}^{\circ }$ 回転であることを
直接計算する。折れ線の6辺は各鏡映軸までの距離の2倍として表し、
正弦和を最大化する。

2直線の交点を $O$ とし、$l$ の方向角を0、
$m$ の方向角を ${60}^{\circ }$ とする。
それぞれの鏡映行列の積は$$\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)\mathrm{.}$$これは $O$ を中心とする ${120}^{\circ }$ 回転である。

(1)

3回合成すれば ${360}^{\circ }$ 回転なので $P_4=P_1$ である。

(2)

$P_1$ の偏角を $\varphi$ とする。鏡映前後の点の距離は、
鏡映軸までの距離の2倍であるから$$L=2\sum _{j=0}^5\mathrm{\mid }\sin (\varphi +{60}^{\circ }j)\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$$0\leqq \varphi \leqq {60}^{\circ }$ としてよく、この範囲で$$L=4\{\sin \varphi +\sin (\varphi +{60}^{\circ })+\sin (\varphi +{120}^{\circ })\}=8\sin (\varphi +{60}^{\circ })\mathrm{.}$$よって最大値は $\varphi ={30}^{\circ }$ のときの$$8$$である。