京都大学 1998年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1) $${\delta }_n=x_n-n\pi (0<{\delta }_n<\pi )$$とおく。元の方程式から$$\sin ({\delta }_n+a)=x_n\sin {\delta }_n\mathrm{.}$$加法定理を用いると$$\sin a\cos {\delta }_n+\cos a\sin {\delta }_n=x_n\sin {\delta }_n,$$従って$$\tan {\delta }_n={\displaystyle \frac{\sin a}{x_n-\cos a}}\mathrm{.}$$右辺は$n$が十分大きいとき正であるから、$0<{\delta }_n<\pi$と合わせて$0<{\delta }_n<\pi \mathrm{/}2$である。また$x_n>n\pi \to \mathrm{\infty }$なので右辺は0に近づく。従って$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\delta }_n=0.$$すなわち$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(x_n-n\pi )=0.$$(2)
上の式から$$(x_n-\cos a)\tan {\delta }_n=\sin a\mathrm{.}$$従って$$n{\delta }_n={\displaystyle \frac{n}{x_n}}\cdot {\displaystyle \frac{x_n}{x_n-\cos a}}\cdot {\displaystyle \frac{{\delta }_n}{\tan {\delta }_n}}\cdot \sin a\mathrm{.}$$(1)より$x_n=n\pi +{\delta }_n$だから$${\displaystyle \frac{n}{x_n}}\to {\displaystyle \frac{1}{\pi }},{\displaystyle \frac{x_n}{x_n-\cos a}}\to 1,{\displaystyle \frac{{\delta }_n}{\tan {\delta }_n}}\to 1.$$よって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n(x_n-n\pi )={\displaystyle \frac{\sin a}{\pi }}\mathrm{.}$$

${\delta }_n=x_n-n\pi$ と置いた正接の恒等式を、まず不等式で挟んで ${\delta }_n\to 0$ を示す。その後、式全体を $n{\delta }_n$ の積へ分解して各因子の極限を取る。

(1) $${\delta }_n=x_n-n\pi ,0<{\delta }_n<\pi$$とおく。加法定理から$$\tan {\delta }_n={\displaystyle \frac{\sin a}{x_n-\cos a}}\mathrm{.}$$十分大きい $n$ では右辺は正なので $0<{\delta }_n<\pi \mathrm{/}2$ である。さらに$$0<{\delta }_n<\tan {\delta }_n={\displaystyle \frac{\sin a}{x_n-\cos a}}\leqq {\displaystyle \frac{\sin a}{n\pi -\cos a}}\mathrm{.}$$右辺は0へ収束するから、はさみうちにより$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(x_n-n\pi )=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\delta }_n=0.$$(2)
また$$(x_n-\cos a)\tan {\delta }_n=\sin a\mathrm{.}$$従って$$n{\delta }_n={\displaystyle \frac{n}{x_n}}{\displaystyle \frac{x_n}{x_n-\cos a}}{\displaystyle \frac{{\delta }_n}{\tan {\delta }_n}}\sin a\mathrm{.}$$$x_n=n\pi +{\delta }_n$ と前半の結論より$${\displaystyle \frac{n}{x_n}}\to {\displaystyle \frac{1}{\pi }},{\displaystyle \frac{x_n}{x_n-\cos a}}\to 1,{\displaystyle \frac{{\delta }_n}{\tan {\delta }_n}}\to 1.$$よって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n(x_n-n\pi )={\displaystyle \frac{\sin a}{\pi }}\mathrm{.}$$