京都大学 1996年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第3問

(1)
交点を$O$とする。直線$l$に関する反転に続いて直線$m$に関する反転を行う合成変換は、$O$を中心とする${120}^{\circ }$回転である。従って$P_2,P_3,P_4$は$P_1$をそれぞれ${120}^{\circ },{240}^{\circ },{360}^{\circ }$回転した点であり、$P_4=P_1$である。
(2)
$l$の方向角を$0$、$P_1$の偏角を$\varphi$とする。$P_i$の偏角は$\varphi +{120}^{\circ }(i-1)$である。反転前後の2点間の距離は反転軸までの距離の2倍なので、折れ線全体の長さ$L$は$$L=2\sum _{j=0}^5\mathrm{\mid }\sin (\varphi +{60}^{\circ }j)\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$絶対値は${180}^{\circ }$周期だから$$L=4\{\mathrm{\mid }\sin \varphi \mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }\sin (\varphi +{60}^{\circ })\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }\sin (\varphi +{120}^{\circ })\mathrm{\mid }\}\mathrm{.}$$$0\leqq \varphi \leqq {60}^{\circ }$だけ調べれば十分で、この区間では3項はいずれも非負である。加法定理からその和は$$2\sin (\varphi +{60}^{\circ })\leqq 2.$$等号は$\varphi ={30}^{\circ }$で成り立つ。従って最大値は$$L_{\max }=8.$$

2直線を $x$ 軸と方向角 ${60}^{\circ }$ の直線に取り、
それぞれの鏡映を行列で表す。積を計算すると ${120}^{\circ }$ 回転になる。
長さは単位円上の弦の公式に直し、偏角の区間を ${60}^{\circ }$ に絞って最大化する。

$l$ を $x$ 軸、$m$ の方向角を ${60}^{\circ }$ とする。
$l$ に関する鏡映行列は$$L=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right),$$$m$ に関する鏡映行列は$$M=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)\mathrm{.}$$したがって $P_i\mapsto P_{i+1}$ の行列は$$ML=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right),$$すなわち ${120}^{\circ }$ 回転である。

(1)

この回転を3回行えば ${360}^{\circ }$ 回転になるので$$P_4=P_1\mathrm{.}$$(2)

$P_1$ の偏角を $\varphi$ とする。各鏡映で結ばれる線分の長さは、
単位円上の点から鏡映軸までの距離の2倍である。6本の和は$$L=2\sum _{j=0}^5\mathrm{\mid }\sin (\varphi +{60}^{\circ }j)\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$${180}^{\circ }$ 周期と対称性により $0\leqq \varphi \leqq {60}^{\circ }$ としてよい。
この区間では$$\begin{array}{rl}{\displaystyle L}& {\displaystyle =4\{\sin \varphi +\sin (\varphi +{60}^{\circ })+\sin (\varphi +{120}^{\circ })\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =8\sin (\varphi +{60}^{\circ })\leqq 8.}\end{array}$$$\varphi ={30}^{\circ }$ で等号となるから最大値は$$8$$である。