京都大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
$\mathrm{\angle }OAP=\theta$ とおく。$AO=2$, $OP=1$, $AP=s$ であるから、三角形$AOP$に余弦定理を用いて $$1^2=2^2+s^2-2\cdot 2\cdot s\cos \theta$$ すなわち $$\cos \theta ={\displaystyle \frac{s^2+3}{4s}}$$ を得る。

条件$AP\cdot PQ=3$より $PQ={\displaystyle \frac{3}{s}}$ である。$Q$は$A,P$を結ぶ直線上で$P$の外側にあるので $AQ=AP+PQ=s+{\displaystyle \frac{3}{s}}$ である。$t=OQ$として、三角形$AOQ$に余弦定理を用いると$$t^2=2^2+{(s+{\displaystyle \frac{3}{s}})}^2-2\cdot 2(s+{\displaystyle \frac{3}{s}})\cos \theta$$である。ここに$\cos \theta =(s^2+3)\mathrm{/}(4s)$を代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle t^2}& {\displaystyle =4+{(s+{\displaystyle \frac{3}{s}})}^2-4(s+{\displaystyle \frac{3}{s}}){\displaystyle \frac{s^2+3}{4s}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4+{\displaystyle \frac{(s^2+3{)}^2}{s^2}}-{\displaystyle \frac{(s^2+3{)}^2}{s^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4.}\end{array}$$したがって$t>0$より $t=2$ である。

(2)
(1)より、$Q$は円 $x^2+y^2=4$ 上にある。

ただし、円$x^2+y^2=4$全体が軌跡になるわけではない。点$Q$から見れば、直線$AQ$が単位円$x^2+y^2=1$と交わり、その交点のうち$A$から見て$Q$側にある点が$P$でなければならない。したがって、$A$から単位円に引いた2本の接線が軌跡の境界になる。

接点を$(u,v)$とすると、接線は半径$O(u,v)$と直交するので $(u,v)\cdot (-2-u,-v)=0$ である。$u^2+v^2=1$を用いると $-2u-1=0$ すなわち $$u=-{\displaystyle \frac{1}{2}},v=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$ である。この接線と円$x^2+y^2=4$との、$A$でない方の交点は $(1,\sqrt{3}),(1,-\sqrt{3})$ である。

また、$P=(1,0)$のときは$Q=(2,0)$となり、右側の円弧が実際に通過される。よって求める軌跡は $$x^2+y^2=4,x\geqq 1$$ で表される円弧である。端点$(1,\pm \sqrt{3})$も、接線の場合として含まれる。

点 $P=(u,v)$ と置き、$A{P}^2=5+4u$ を使って点 $Q$ の位置ベクトルを直接表す。内積を展開すると $O{Q}^2=4$ が恒等的に得られる。軌跡の範囲は、点 $A$ から単位円へ引く2接線の間にある方向として決め、逆にその円弧上の各点から $P$ を復元できることも確認する。

(1) $$P=(u,v),u^2+v^2=1$$と置く。このとき$$s^2=A{P}^2=(u+2{)}^2+v^2=5+4u\mathrm{.}$$条件 $AP\cdot PQ=3$ より、$Q$ は $P$ から $\overrightarrow{AP}$ の向きへ長さ $3\mathrm{/}s$ だけ進んだ点である。したがって$$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OP}+{\displaystyle \frac{3}{s^2}}\overrightarrow{AP}\mathrm{.}$$$$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{AP}=1+2u$$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle O{Q}^2}& {\displaystyle =1+{\displaystyle \frac{6(1+2u)}{5+4u}}+{\displaystyle \frac{9}{5+4u}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4.}\end{array}$$よって $t=OQ>0$ から$$t=2.$$(2)
上の計算から $Q$ は円$$x^2+y^2=4$$上にある。ただし、直線 $AQ$ が単位円と交わる方向だけが許される。その境界は $A$ から単位円への2本の接線である。

接点を $T=(\xi ,\eta )$ とするとしたがって$$\xi =-{\displaystyle \frac{1}{2}},\eta =\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\mathrm{.}$$この2接線が半径2の円と再び交わる点は$$(1,\sqrt{3}),(1,-\sqrt{3})$$である。$P=(1,0)$ では $Q=(2,0)$ となるので、通るのは右側の円弧である。

逆にこの円弧上の $Q$ を取れば、半直線 $AQ$ は単位円と交わる。その $A$ から遠い方の交点を $P$ とすると、上の恒等式を逆にたどって $AP\cdot PQ=3$ が成り立つ。ゆえに軌跡は$$x^2+y^2=4,x\geqq 1$$であり、両端も含む。