京都大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
直角三角形の直角をはさむ2辺の長さを $a,b$、斜辺の長さを $c$ とする。内接円の半径を $r$、面積を $T$、半周長を $p$ とすると $T=rp$ である。一方、直角三角形なので $T=ab\mathrm{/}2$、また $c^2=a^2+b^2$ である。したがって $$r={\displaystyle \frac{T}{p}}={\displaystyle \frac{ab\mathrm{/}2}{(a+b+c)\mathrm{/}2}}={\displaystyle \frac{ab}{a+b+c}}$$ である。ここで $$(a+b-c)(a+b+c)=(a+b{)}^2-c^2=2ab$$ だから $${\displaystyle \frac{a+b-c}{2}}={\displaystyle \frac{ab}{a+b+c}}=r$$ である。

問題の条件は、3辺の長さの和と直径 $2r$ の和が $2$ であること、すなわち $a+b+c+2r=2$ である。いま $2r=a+b-c$ だから $a+b+c+a+b-c=2$ となり、$a+b=1$ を得る。よって $2r=a+b-c=1-c$ であるから、斜辺の長さは $c=1-2r$ である。

(2)
半周長は $$p={\displaystyle \frac{a+b+c}{2}}={\displaystyle \frac{1+c}{2}}$$ である。(1)より $c=1-2r$ なので $$p={\displaystyle \frac{1+1-2r}{2}}=1-r$$ である。したがって面積は $T=rp=r(1-r)$ である。

あとは $r$ の取り得る範囲を調べる。$a+b=1$ のもとで $$c^2=a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab=1-2ab$$ である。また $$ab\leqq {\left({\displaystyle \frac{a+b}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{1}{4}}$$ だから $$c^2\geqq 1-2\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。等号は $a=b=1\mathrm{/}2$ のときに成り立つ。よって $c\geqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$ であり、$$r={\displaystyle \frac{1-c}{2}}\leqq {\displaystyle \frac{1-1\mathrm{/}\sqrt{2}}{2}}$$ である。

ここで $0<r<1\mathrm{/}2$ の範囲では $r(1-r)$ は増加する。実際、$0<r_1<r_2<1\mathrm{/}2$ なら $$r_2(1-r_2)-r_1(1-r_1)=(r_2-r_1)(1-r_1-r_2)>0$$ である。したがって面積の最大は $$r={\displaystyle \frac{1-1\mathrm{/}\sqrt{2}}{2}}$$ のときにとる。このとき$$T_{\max }={\displaystyle \frac{1-1\mathrm{/}\sqrt{2}}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1+1\mathrm{/}\sqrt{2}}{2}}={\displaystyle \frac{1-1\mathrm{/}2}{4}}={\displaystyle \frac{1}{8}}$$である。

周長条件と直角三角形の内接円公式から直角辺の和を1に固定する。面積は $ab\mathrm{/}2$ として相加相乗で直接最大化し、等号時に元の条件を満たすことまで戻って確認する。

(1)
直角辺を $a,b$、斜辺を $c$ とする。直角三角形の内接円半径は$$r={\displaystyle \frac{a+b-c}{2}}$$である。問題の条件へ代入すると$$a+b+c+2r=a+b+c+a+b-c=2(a+b)=2.$$従って$$a+b=1,c=a+b-2r=1-2r\mathrm{.}$$(2)
三角形の面積を $T$ とすると$$T={\displaystyle \frac{ab}{2}}\mathrm{.}$$$a,b>0$、$a+b=1$ だから$$ab\leqq {\left({\displaystyle \frac{a+b}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$よって$$T\leqq {\displaystyle \frac{1}{8}}\mathrm{.}$$等号は $a=b=1\mathrm{/}2$ のときに成り立つ。このとき$$c={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},r={\displaystyle \frac{1-1\mathrm{/}\sqrt{2}}{2}}>0$$であり、周長と直径の和も2になる。従って最大値は$${\displaystyle \frac{1}{8}}$$である。