京都大学 2001年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第1問

$p=\vec{u}\cdot \vec{v}$、$q=\mathrm{\mid }\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2$ とおく。$\mathrm{\mid }\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2=1$ だから$$\mathrm{\mid }\vec{u}+3\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2=1+6p+9q=1,$$$$\mathrm{\mid }2\vec{u}+\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2=4+4p+q=2.$$従って$$2p+3q=0,4p+q=-2.$$これを解くと$$p=-{\displaystyle \frac{3}{5}},q={\displaystyle \frac{2}{5}}\mathrm{.}$$$\mathrm{△}OPQ$ の面積を $S$ とすれば$$(2S{)}^2=\mathrm{\mid }\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{\mid }\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2-(\vec{u}\cdot \vec{v}{)}^2={\displaystyle \frac{2}{5}}-{\displaystyle \frac{9}{25}}={\displaystyle \frac{1}{25}}\mathrm{.}$$面積は正なので$$S={\displaystyle \frac{1}{10}}\mathrm{.}$$

座標軸を回転して $\vec{u}=(1,0)$ とおく。
$\vec{v}=(p,h)$ とすれば、2つの長さの条件は
$p$ と $p^2+h^2$ の連立式になる。
三角形の高さは $\mathrm{\mid }h\mathrm{\mid }$ なので面積を直接読める。

座標軸を回転しても長さと面積は変わらないので$$\vec{u}=(1,0),\vec{v}=(p,h)$$とおく。また $q=p^2+h^2=\mathrm{\mid }\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2$ とする。

条件を平方すると$$\mathrm{\mid }\vec{u}+3\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2=1+6p+9q=1,$$$$\mathrm{\mid }2\vec{u}+\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2=4+4p+q=2.$$したがって$$2p+3q=0,4p+q=-2.$$これを解くと$$p=-{\displaystyle \frac{3}{5}},q={\displaystyle \frac{2}{5}}\mathrm{.}$$よって$$h^2=q-p^2={\displaystyle \frac{2}{5}}-{\displaystyle \frac{9}{25}}={\displaystyle \frac{1}{25}}\mathrm{.}$$$\mathrm{△}OPQ$ の底辺 $OP$ は1、高さは $\mathrm{\mid }h\mathrm{\mid }=1\mathrm{/}5$ だから、$$\text{面積}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 1\cdot {\displaystyle \frac{1}{5}}={\displaystyle \frac{1}{10}}\mathrm{.}$$