京都大学 2001年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第2問

第 $k$ 項までに現れる1の個数を $r_k$ とする。このとき$$\sum _{j=1}^k{a}_j=r_k-(k-r_k)=2r_k-k\mathrm{.}$$$a_k=1$ のとき$$b_k={\displaystyle \frac{1}{2}}\{k+(2r_k-k)\}=r_k\mathrm{.}$$従って、1が現れるたびに $b_k$ は順に $1,2,\dots ,m$ となる。

一方 $a_k=-1$ のとき$$b_k={\displaystyle \frac{1}{2}}\{-k+(2r_k-k)\}=r_k-k=-(k-r_k)\mathrm{.}$$ここで $k-r_k$ は第 $k$ 項までの $-1$ の個数だから、$-1$ が現れるたびに $b_k$ は順に $-1,-2,\dots ,-(n-m)$ となる。

よって$$\{b_k\mid 1\leqq k\leqq n\}=\{1,2,\dots ,m\}\cup \{-1,-2,\dots ,-(n-m)\}\mathrm{.}$$$m=0$ または $m=n$ の場合は、対応する側の集合を空集合と解釈する。

1が現れる位置を $p_1<\cdots <p_m$、
$-1$ が現れる位置を $q_1<\cdots <q_{n-m}$ とおく。
それぞれの位置で部分和を数えると、$b_k$ が出現順そのものになる。

1が現れる位置を$$p_1<p_2<\cdots <p_m$$とする。第 $p_r$ 項までには1が $r$ 個、
$-1$ が $p_r-r$ 個あるので$$\sum _{j=1}^{p_r}{a}_j=r-(p_r-r)=2r-p_r\mathrm{.}$$したがって$$b_{p_r}={\displaystyle \frac{1}{2}}\{p_r+(2r-p_r)\}=r\mathrm{.}$$よって1が現れる位置からは $1,2,\dots ,m$ がすべて得られる。

同様に、$-1$ が現れる位置を$$q_1<q_2<\cdots <q_{n-m}$$とする。第 $q_s$ 項までには $-1$ が $s$ 個、1が $q_s-s$ 個あるから$$\sum _{j=1}^{q_s}{a}_j=(q_s-s)-s=q_s-2s\mathrm{.}$$よって$$b_{q_s}={\displaystyle \frac{1}{2}}\{-q_s+(q_s-2s)\}=-s\mathrm{.}$$したがって$$\{b_k\mid 1\leqq k\leqq n\}=\{1,2,\dots ,m\}\cup \{-1,-2,\dots ,-(n-m)\}\mathrm{.}$$片方の個数が0の場合は、その側を空集合とする。