京都大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

$n=1$ のとき、条件は $0^2{a}_1=S_1$ であり、$S_1=a_1=0$ なので成り立つ。$n=2$ のときは $a_2=S_2=a_1+a_2$ となり、これも $a_1=0$ により成り立つ。

以下、$n\geqq 3$ とする。条件より $$S_n=(n-1{)}^2{a}_n,S_{n-1}=(n-2{)}^2{a}_{n-1}$$ である。両式の差を取ると、$S_n-S_{n-1}=a_n$ だから $$a_n=(n-1{)}^2{a}_n-(n-2{)}^2{a}_{n-1}$$ である。これを整理すると $$\{(n-1{)}^2-1\}{a}_n=(n-2{)}^2{a}_{n-1}$$ であり、$$n(n-2)a_n=(n-2{)}^2{a}_{n-1}$$ となる。$n\geqq 3$ では $n-2\mathrm{\ne }0$ なので、$$a_n={\displaystyle \frac{n-2}{n}}{a}_{n-1}$$ を得る。 $a_2=1$ から順に用いると、$n\geqq 3$ について $$a_n=a_2\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{5}}\cdots {\displaystyle \frac{n-2}{n}}$$ である。分子と分母を整理すると$$a_n={\displaystyle \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-2)}{3\cdot 4\cdot 5\cdots n}}={\displaystyle \frac{2}{n(n-1)}}$$となる。この式は $n=2$ でも $a_2=1$ を与える。

したがって一般項は $$a_1=0,a_n={\displaystyle \frac{2}{n(n-1)}}(n\geqq 2)$$ である。

一般項を先に追わず、条件に $a_n=S_n-S_{n-1}$ を代入して
$S_n$ 自身の漸化式を作る。積は前後の因子が連続して消えるため
$S_n$ が直接求まり、最後に隣接差を取れば $a_n$ が得られる。

$n\geqq 3$ では$$S_n=(n-1{)}^2{a}_n=(n-1{)}^2(S_n-S_{n-1})$$である。したがって$$n(n-2)S_n=(n-1{)}^2{S}_{n-1},S_n={\displaystyle \frac{(n-1{)}^2}{n(n-2)}}{S}_{n-1}\mathrm{.}$$$S_2=a_1+a_2=1$ だから、順に代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_n}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2^2}{3\cdot 1}}{\displaystyle \frac{3^2}{4\cdot 2}}\cdots {\displaystyle \frac{(n-1{)}^2}{n(n-2)}}{S}_2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2(n-1)}{n}}(n\geqq 2)\mathrm{.}}\end{array}$$よって $n\geqq 3$ に対して$$a_n=S_n-S_{n-1}={\displaystyle \frac{2(n-1)}{n}}-{\displaystyle \frac{2(n-2)}{n-1}}={\displaystyle \frac{2}{n(n-1)}}\mathrm{.}$$この式は $n=2$ でも $a_2=1$ を与える。したがって$$a_1=0,a_n={\displaystyle \frac{2}{n(n-1)}}(n\geqq 2)\mathrm{.}$$