京都大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

条件より、$n\geqq 2$ に対して $$\log a_n-\log a_{n-1}=\log (n-1)-\log (n+1)$$ である。左辺と右辺をそれぞれまとめると $$\log {\displaystyle \frac{a_n}{a_{n-1}}}=\log {\displaystyle \frac{n-1}{n+1}}$$ となる。$a_n>0$ なので対数を外して $${\displaystyle \frac{a_n}{a_{n-1}}}={\displaystyle \frac{n-1}{n+1}}$$ を得る。 $a_1=1$ から順に掛け合わせると、$n\geqq 2$ について$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_n}& {\displaystyle =1\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{5}}\cdots {\displaystyle \frac{n-1}{n+1}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{n(n+1)}}\mathrm{.}}\end{array}$$この式は $n=1$ のときも $${\displaystyle \frac{2}{1\cdot 2}}=1$$ となり、$a_1=1$ と一致する。したがってすべての $n\geqq 1$ で $$a_n={\displaystyle \frac{2}{n(n+1)}}$$ である。

よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=1}^n{a}_k}& {\displaystyle =\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{2}{k(k+1)}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\sum _{k=1}^n({\displaystyle \frac{1}{k}}-{\displaystyle \frac{1}{k+1}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(1-{\displaystyle \frac{1}{n+1}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2n}{n+1}}\mathrm{.}}\end{array}$$

漸化式の両辺に $n(n+1)$ を掛けると一定になる量が見つかる。一般項を積で表さず、そのまま部分分数へ進む。

条件(ii)と正値性から$${\displaystyle \frac{a_n}{a_{n-1}}}={\displaystyle \frac{n-1}{n+1}}(n\geqq 2)$$である。両辺を整理すると$$n(n+1)a_n=n(n-1)a_{n-1}\mathrm{.}$$したがって$$b_n=n(n+1)a_n$$とおけば$$b_n=b_{n-1}\mathrm{.}$$初項は$$b_1=1\cdot 2\cdot a_1=2$$なので、すべての $n\geqq 1$ で$$a_n={\displaystyle \frac{2}{n(n+1)}}=2({\displaystyle \frac{1}{n}}-{\displaystyle \frac{1}{n+1}})\mathrm{.}$$よって中間項が相殺され$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=1}^n{a}_k}& {\displaystyle =2\sum _{k=1}^n({\displaystyle \frac{1}{k}}-{\displaystyle \frac{1}{k+1}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(1-{\displaystyle \frac{1}{n+1}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2n}{n+1}}\mathrm{.}}\end{array}$$