京都大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

$111$で割り算をすると $${\displaystyle \frac{23}{111}}=0.207207\cdots =0.\overline{207}$$ である。したがって桁は $$a_{3j+1}=2,a_{3j+2}=0,a_{3j+3}=7(j=0,1,2,\dots )$$ と周期3で繰り返す。

まず $n=3m$ のとき、3桁を1ブロックとしてまとめると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=1}^{3m}{\displaystyle \frac{a_k}{3^k}}}& {\displaystyle =\sum _{j=0}^{m-1}({\displaystyle \frac{2}{3^{3j+1}}}+{\displaystyle \frac{0}{3^{3j+2}}}+{\displaystyle \frac{7}{3^{3j+3}}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sum _{j=0}^{m-1}{\displaystyle \frac{25}{3^{3j+3}}}={\displaystyle \frac{25}{27}}\cdot {\displaystyle \frac{1-({\displaystyle \frac{1}{27}}{)}^m}{1-{\displaystyle \frac{1}{27}}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{25}{26}}(1-{\displaystyle \frac{1}{{27}^m}})\mathrm{.}}\end{array}$$ここで、1ブロックの寄与は $${\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{7}{27}}={\displaystyle \frac{25}{27}}$$ であり、次のブロックに移るたびに全体が ${\displaystyle \frac{1}{27}}$ 倍になる。

残りの桁がある場合を加える。$n=3m+1$ のときは、最初の $3m$ 桁に次の桁 $2$ だけが加わるから$$\sum _{k=1}^{3m+1}{\displaystyle \frac{a_k}{3^k}}={\displaystyle \frac{25}{26}}(1-{\displaystyle \frac{1}{{27}^m}})+{\displaystyle \frac{2}{3^{3m+1}}}\mathrm{.}$$また $n=3m+2$ のときは、その次の桁が $0$ なので値は同じで$$\sum _{k=1}^{3m+2}{\displaystyle \frac{a_k}{3^k}}={\displaystyle \frac{25}{26}}(1-{\displaystyle \frac{1}{{27}^m}})+{\displaystyle \frac{2}{3^{3m+1}}}\mathrm{.}$$よって答えは$$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle {\displaystyle \frac{25}{26}}(1-{\displaystyle \frac{1}{{27}^m}}),}& n=3m,\\ {\displaystyle {\displaystyle \frac{25}{26}}(1-{\displaystyle \frac{1}{{27}^m}})+{\displaystyle \frac{2}{3^{3m+1}}},}& n=3m+1,\\ {\displaystyle {\displaystyle \frac{25}{26}}(1-{\displaystyle \frac{1}{{27}^m}})+{\displaystyle \frac{2}{3^{3m+1}}},}& n=3m+2.\end{array}$$ただし第1式では $m\geqq 1$、第2・第3式では $m\geqq 0$ とする。

部分和を $T_n$ と置く。循環節 $207$ を1組追加したときの増分を直接書けば、等比数列の公式を一度だけ使って3の剰余ごとの式を得られる。

部分和を$$T_n=\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{a_k}{3^k}}$$とおく。小数表示は$${\displaystyle \frac{23}{111}}=0.\overline{207}$$だから、各 $j\geqq 0$ について$$(a_{3j+1},a_{3j+2},a_{3j+3})=(2,0,7)$$である。したがって$$T_{3m}-T_{3m-3}={\displaystyle \frac{2}{3^{3m-2}}}+{\displaystyle \frac{7}{3^{3m}}}={\displaystyle \frac{25}{3^{3m}}}(m\geqq 1)\mathrm{.}$$初期値 $T_0=0$ から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T_{3m}}& {\displaystyle =25\sum _{j=1}^m{\displaystyle \frac{1}{3^{3j}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{25}{26}}(1-{\displaystyle \frac{1}{{27}^m}})\mathrm{.}}\end{array}$$さらに$$T_{3m+1}=T_{3m}+{\displaystyle \frac{2}{3^{3m+1}}},T_{3m+2}=T_{3m+1}$$である。よって$$T_n=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{25}{26}}(1-{\displaystyle \frac{1}{{27}^m}})& (n=3m),\\ {\displaystyle \frac{25}{26}}(1-{\displaystyle \frac{1}{{27}^m}})+{\displaystyle \frac{2}{3^{3m+1}}}& (n=3m+1,3m+2)\mathrm{.}\end{array}$$第1式では $m\geqq 1$、第2式では $m\geqq 0$ である。