京都大学 2003年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

奇数項とその直後の偶数項を組にすると$$S_n=\sum _{j=1}^n\{{\left({\displaystyle \frac{j}{n}}\right)}^{100}-{\left({\displaystyle \frac{2j-1}{2n}}\right)}^{100}\}\mathrm{.}$$関数 $f(x)=x^{100}$ に平均値の定理を用いると、各 $j$ について$${\displaystyle \frac{2j-1}{2n}}<{\xi }_j<{\displaystyle \frac{j}{n}}$$を満たす ${\xi }_j$ が存在して$$f\left({\displaystyle \frac{j}{n}}\right)-f\left({\displaystyle \frac{2j-1}{2n}}\right)={\displaystyle \frac{1}{2n}}{f}^{\mathrm{\prime }}({\xi }_j)={\displaystyle \frac{1}{2n}}100{\xi }_j^{99}\mathrm{.}$$したがって$$S_n={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{j=1}^{n}100{\xi }_j^{99}\mathrm{.}$$これは区間 $[0,1]$ における $100x^{99}$ のリーマン和の半分だから$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^{1}100x^{99}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$

偶数項と直前の奇数項を組にし、その差を二項定理で展開する。最高次数の項だけが極限に残り、残りを次数で評価する。

交代和を $S_n$ とすると$$S_n={\displaystyle \frac{1}{(2n{)}^{100}}}\sum _{j=1}^n\{(2j{)}^{100}-(2j-1{)}^{100}\}\mathrm{.}$$二項定理により$$(2j{)}^{100}-(2j-1{)}^{100}=100(2j{)}^{99}+R_j,$$ここである定数 $C>0$ により$$\mathrm{\mid }{R}_j\mathrm{\mid }\leqq C{j}^{98}$$と評価できる。したがって$$S_n={\displaystyle \frac{100\cdot 2^{99}}{2^{100}{n}^{100}}}\sum _{j=1}^n{j}^{99}+{\displaystyle \frac{1}{(2n{)}^{100}}}\sum _{j=1}^n{R}_j\mathrm{.}$$後半は$$\mid {\displaystyle \frac{1}{(2n{)}^{100}}}\sum _{j=1}^n{R}_j\mid \leqq {\displaystyle \frac{C}{(2n{)}^{100}}}\sum _{j=1}^n{j}^{98}⟶0.$$また$${\displaystyle \frac{1}{n^{100}}}\sum _{j=1}^n{j}^{99}={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{j=1}^n{\left({\displaystyle \frac{j}{n}}\right)}^{99}⟶{\int }_0^1{x}^{99}dx={\displaystyle \frac{1}{100}}\mathrm{.}$$よって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=50\cdot {\displaystyle \frac{1}{100}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$