京都大学 2003年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

そのような番号が存在しないと仮定する。このときすべての $n\geqq 1$ について$$a_{n+1}\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n-p$$である。これを繰り返し用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_{n+1}}& {\displaystyle \leqq {\displaystyle \frac{a_1}{2^n}}-p(1+{\displaystyle \frac{1}{2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{2^{n-1}}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a_1+2p}{2^n}}-2p\mathrm{.}}\end{array}$$右辺は $n\to \mathrm{\infty }$ のとき $-2p<0$ に近づくので、十分大きな $n$ では負になる。すると $a_{n+1}<0$ となり、すべての項が正であるという仮定に反する。したがって$$a_{n+1}>{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n-p$$を満たす番号 $n$ が少なくとも一つ存在する。

否定仮定の不等式に合うよう $b_n=a_n+2p$ と置く。すると $b_n$ が毎回半分以下になる一方、常に $2p$ より大きいという矛盾が出る。

結論が偽であると仮定する。すべての $n\geqq 1$ について$$a_{n+1}\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n-p$$である。ここで$$b_n=a_n+2p$$とおくと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle b_{n+1}}& {\displaystyle =a_{n+1}+2p}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n+p}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}{b}_n\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$b_{n+1}\leqq {\displaystyle \frac{b_1}{2^n}}\mathrm{.}$$一方、$a_{n+1}>0$, $p>0$ だから$$b_{n+1}=a_{n+1}+2p>2p\mathrm{.}$$十分大きな $n$ では$${\displaystyle \frac{b_1}{2^n}}<2p$$となるので矛盾する。ゆえに少なくとも1つの番号 $n$ に対して$$a_{n+1}>{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n-p$$が成り立つ。