京都大学 2002年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第2問

$s=x+y,p=xy$ とおく。$x^3+y^3=s^3-3ps$, $x^2+y^2=s^2-2p$ を代入すると$$F=-2s^3+3s^2+12s-5.$$領域 $D$ は3直線で囲まれる三角形で、その頂点は$$(2,2),(-2,3),(-1,-1)$$である。したがって一次式 $s=x+y$ の範囲は$$-2\leqq s\leqq 4.$$$H(s)=-2s^3+3s^2+12s-5$ とおくと$$H^{\mathrm{\prime }}(s)=-6(s-2)(s+1)\mathrm{.}$$端点と停留点での値は$$H(-2)=-1,H(-1)=-12,H(2)=15,H(4)=-37.$$よって最大値は $15$、最小値は $-37$ である。

対称式を $s=x+y$ で整理したあと、直線 $x+y=s$ を領域 $D$ 上で
平行移動させる。三角形の3頂点で $s$ の最小値・最大値を確定し、
1変数関数 $H(s)$ の増減表から端点と停留点を比較する。

$s=x+y,p=xy$ とおくと$$x^3+y^3=s^3-3ps,x^2+y^2=s^2-2p$$であり、代入後に $p$ の項は消える。したがって$$F=H(s)=-2s^3+3s^2+12s-5.$$境界3直線の交点は$$(2,2),(-2,3),(-1,-1)\mathrm{.}$$$s=x+y$ は一次式なので、三角形 $D$ 上の範囲は頂点で決まり$$-2\leqq s\leqq 4.$$また$$H^{\mathrm{\prime }}(s)=-6(s-2)(s+1)\mathrm{.}$$よって候補値は$$H(-2)=-1,H(-1)=-12,H(2)=15,H(4)=-37.$$これらを比較して、最大値は $15$、最小値は $-37$ である。
最大値は $x+y=2$ と $D$ の交わる部分で、最小値は頂点 $(2,2)$ でとる。