京都大学 2003年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第2問

3数を比較すると、$x\leqq 1$ では $2x$ が最小、$1\leqq x\leqq 3$ では2が最小、$x\geqq 3$ では $5-x$ が最小である。したがって$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x& (x\leqq 1),\\ 2& (1\leqq x\leqq 3),\\ 5-x& (x\geqq 3)\mathrm{.}\end{array}$$よって$$g(x)=\{\begin{array}{ll}2x^2& (x\leqq 1),\\ 2x& (1\leqq x\leqq 3),\\ x(5-x)& (x\geqq 3)\mathrm{.}\end{array}$$グラフが $x$ 軸と作る有界な領域は $0\leqq x\leqq 5$ にあり、その面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^{1}2x^{2}dx+{\int }_1^{3}2xdx+{\int }_3^{5}x(5-x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3}}+8+{\displaystyle \frac{22}{3}}=16.}\end{array}$$したがって求める面積は $16$ である。

区分関数のグラフを、放物線・直線・放物線の3部分として描き、それぞれの符号付き面積を幾何的または積分で加える。

3つの候補の大小関係から$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x& (x\leqq 1),\\ 2& (1\leqq x\leqq 3),\\ 5-x& (x\geqq 3)\end{array}$$である。したがって$$g(x)=\{\begin{array}{ll}2x^2& (x\leqq 1),\\ 2x& (1\leqq x\leqq 3),\\ 5x-x^2& (x\geqq 3)\mathrm{.}\end{array}$$$x\leqq 0$ ではグラフは上方へ延び、$x\geqq 5$ では下方へ延びるので、$x$ 軸と作る有界領域だけを取ると区間は$$0\leqq x\leqq 5$$である。

3部分の面積は$${\int }_0^{1}2x^{2}dx={\displaystyle \frac{2}{3}},$$$${\int }_1^{3}2xdx=8,$$$${\int }_3^5(5x-x^2)dx={\displaystyle \frac{22}{3}}\mathrm{.}$$よって求める面積は$${\displaystyle \frac{2}{3}}+8+{\displaystyle \frac{22}{3}}=16$$である。