京都大学 2000年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第4問

点 $(0,1)$ に関して点対称であるから$$f(x)+f(-x)=2$$がすべての $x$ で成り立つ。従って$$2a{x}^2+2c=2$$より$$a=0,c=1.$$よって $f(x)=x^3+bx+1$ である。

相異なる二つの極値をもつので $b<0$ である。$$s=\sqrt{-{\displaystyle \frac{b}{3}}}>0$$とおくと、極値をとる点は $x=\pm s$ であり、$b=-3s^2$ だから$$f(-s)=1+2s^3,f(s)=1-2s^3\mathrm{.}$$極値の差が4なので$$4s^3=4.$$従って $s=1,b=-3$ であり$$f(x)=x^3-3x+1$$と決まる。

(1) $$f(-1)=3>0,f(1)=-1<0.$$また $x\to -\mathrm{\infty }$ で $f(x)\to -\mathrm{\infty }$、$x\to \mathrm{\infty }$ で $f(x)\to \mathrm{\infty }$ である。さらに $f$ は$$(-\mathrm{\infty },-1),(-1,1),(1,\mathrm{\infty })$$でそれぞれ単調であるから、各区間にちょうど一つずつ零点をもつ。従ってグラフは $x$ 軸と相異なる3点で交わる。

(2) 三つの零点を $\alpha <\beta <\gamma$ とする。$x^2$ の係数が0なので、解と係数の関係より$$\alpha +\beta +\gamma =0.$$従って$${\displaystyle \frac{-\beta -\gamma }{2}}={\displaystyle \frac{\alpha }{2}}\mathrm{.}$$また$$f(-2)=-1<0,f(-1)=3>0$$より $-2<\alpha <-1$ である。$f(\alpha )=0$ から$${\alpha }^3=3\alpha -1$$なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f\left({\displaystyle \frac{\alpha }{2}}\right)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{{\alpha }^3}{8}}-{\displaystyle \frac{3\alpha }{2}}+1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{7}{8}}-{\displaystyle \frac{9\alpha }{8}}>2,}\end{array}$$最後は $\alpha <-1$ を用いた。ゆえに$$f\left({\displaystyle \frac{-\beta -\gamma }{2}}\right)>2$$である。

点対称条件と極値差から $f(x)=x^3-3x+1$ を決める。
(2)では根の関係から評価点を $\alpha \mathrm{/}2$ と直し、
$\alpha$ の粗い範囲と $f$ の単調性だけで $2$ より大きいことを示す。

(1)
点 $(0,1)$ に関する点対称性は$$f(-x)-1=-\{f(x)-1\}$$を意味する。従って $a=0,c=1$ であり$$f(x)=x^3+bx+1.$$相異なる2極値をもつため $b<0$ である。
$b=-3r^2(r>0)$ とおくと極値点は $x=\pm r$ で、極値の差は$$f(-r)-f(r)=4r^3\mathrm{.}$$これが4だから $r=1$、従って$$f(x)=x^3-3x+1.$$$$f(-2)=-1,f(-1)=3,f(1)=-1,f(2)=3$$より、中間値の定理から3つの区間
$(-2,-1),(-1,1),(1,2)$ に各1根をもち、3次式なのでこれらが
相異なる3根のすべてである。

(2)
根を $\alpha <\beta <\gamma$ とすると、$x^2$ の係数が0なので$$\alpha +\beta +\gamma =0,{\displaystyle \frac{-\beta -\gamma }{2}}={\displaystyle \frac{\alpha }{2}}\mathrm{.}$$上で $-2<\alpha <-1$ を得たから$$-1<{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}<-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3(x^2-1)<0$ なので $f$ は $(-1,1)$ で狭義単調減少する。
従って$$f\left({\displaystyle \frac{\alpha }{2}}\right)>f(-{\displaystyle \frac{1}{2}})=-{\displaystyle \frac{1}{8}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}+1={\displaystyle \frac{19}{8}}>2.$$これが求める不等式である。