京都大学 2004年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第3問

(1) 条件 (1) を用いる。

条件(1)で $x=3$, $y=0$ とすると $f(3+0)=f(3)f(0)$ である。すなわち $f(3)=f(3)f(0)$ である。条件(2)より $f(3)=8\mathrm{\ne }0$ だから、両辺を $f(3)$ で割って $f(0)=1$ を得る。

次に、条件(1)を繰り返して用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(3)}& {\displaystyle =f(1+1+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =f(1+1)f(1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =f(1)f(1)f(1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =f(1{)}^3}\end{array}$$である。条件(2)より $f(3)=8$ なので $f(1{)}^3=8$ である。

ここで $f(1)$ は実数である。実数 $u$ について $u^3=8$ なら $u=2$ であるから、$f(1)=2$ である。

(2) 条件 (2) の値を代入して結論を得た。

求める値だけに注目し、$3=1+1+1$ と分解する。$f(0)$ の確認を経ずに結論へ進む。

(1) 条件 (1) を反復して使う。

(2) 条件 (2) の $f(3)=8$ を代入する。

性質 (1) を2回使うと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 8=f(3)}& {\displaystyle =f(1+2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =f(1)f(2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =f(1)f(1+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =f(1{)}^3\mathrm{.}}\end{array}$$$f(1)$ は実数であり、実数の3乗関数は狭義単調増加である。したがって $f(1{)}^3=2^3$ から$$f(1)=2$$である。