京都大学 2001年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

$n=1$ では$$g_1(x)=1-x\mathrm{.}$$$n\geqq 2$ では$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g_n(x)}& {\displaystyle =(1-x)(1+x)f_{n-1}(x^2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-x^2)f_{n-1}(x^2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =g_{n-1}(x^2)\mathrm{.}}\end{array}$$従って帰納法により$$g_n(x)=1-x^{2^{n-1}}$$である。

実際、$n\geqq 2$ なら$$f_n(x)=(1+x)(1+x^2)\cdots (1+x^{2^{n-2}})$$であり、上の恒等式と一致する。

次に収束範囲を調べる。$x\mathrm{\ne }1$ では$$f_n(x)={\displaystyle \frac{1-x^{2^{n-1}}}{1-x}}\mathrm{.}$$$-1<x<1$ なら $x^{2^{n-1}}\to 0$ だから$$f_n(x)\to {\displaystyle \frac{1}{1-x}}\mathrm{.}$$$x=-1$ では $n\geqq 2$ で $f_n(-1)=0$ だから収束する。一方 $x=1$ では $f_n(1)=2^{n-1}$ で発散する。$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }>1$ では $x^{2^{n-1}}\to +\mathrm{\infty }$ となり、上式の絶対値が無限に大きくなるので収束しない。

従って求める範囲は$$-1\leqq x<1.$$

漸化式を繰り返して
$f_n(x)=(1+x)(1+x^2)\cdots (1+x^{2^{n-2}})$ と書く。
$(1-x)(1+x)=1-x^2$ を順に使えば積が望遠鏡式に消え、
その閉じた式から端点を含めて収束を判定できる。

漸化式を繰り返すと、$n\geqq 2$ について$$f_n(x)=(1+x)(1+x^2)\cdots (1+x^{2^{n-2}})$$である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g_n(x)}& {\displaystyle =(1-x)(1+x)(1+x^2)\cdots (1+x^{2^{n-2}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-x^2)(1+x^2)\cdots (1+x^{2^{n-2}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-x^{2^{n-1}}\mathrm{.}}\end{array}$$$n=1$ でも $g_1(x)=1-x$ なので同じ式が成り立つ。

$x\mathrm{\ne }1$ なら$$f_n(x)={\displaystyle \frac{1-x^{2^{n-1}}}{1-x}}\mathrm{.}$$$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<1$ では $x^{2^{n-1}}\to 0$ だから収束する。
$x=-1$ では $n\geqq 2$ で最初の因子 $1+x$ が0となり、やはり収束する。

$x=1$ では $f_n(1)=2^{n-1}$ で発散する。
$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }>1$ では $x^{2^{n-1}}\to +\mathrm{\infty }$ だから絶対値が発散する。
したがって収束する範囲は$$-1\leqq x<1$$である。