京都大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $$t=\sqrt{x}(t\geqq 0)$$ とおく。すると共有点をもつ条件は $$t={\displaystyle \frac{2}{a}}{t}^2+1-{\displaystyle \frac{1}{a}}$$ を満たす $t\geqq 0$ が存在することである。両辺に $a$ をかけて整理すると $2t^2-at+a-1=0$ である。

この2次方程式の判別式は $D_1=a^2-8(a-1)=a^2-8a+8$ である。$0<a\leqq 2$ の範囲で $a^2-8a+8\geqq 0$ となるのは $0<a\leqq 4-2\sqrt{2}$ である。

この範囲では、方程式の解が $t\geqq 0$ に存在することも確認しておく。解の和は $a\mathrm{/}2>0$ である。$0<a<1$ なら解の積 $(a-1)\mathrm{/}2<0$ なので正の解を1つもつ。$1\leqq a\leqq 4-2\sqrt{2}$ なら解の積は非負で、解の和は正であるから、実数解はともに非負である。したがって求める範囲は $0<a\leqq 4-2\sqrt{2}$ である。

(2)
与えられた方程式を展開する。 $(2x+a-1{)}^2=a^{2}x$ より $$4x^2+4(a-1)x+(a-1{)}^2-a^{2}x=0$$ である。$4(a-1)-a^2=-(a-2{)}^2$ だから $4x^2-(a-2{)}^{2}x+(a-1{)}^2=0$ となる。この方程式の判別式は $$D_2=(a-2{)}^4-16(a-1{)}^2=a^2(a^2-8a+8)$$ である。 $a_0=4-2\sqrt{2}$ とおく。$0<a\leqq a_0$ では $D_2\geqq 0$ であり、2解は実数である。このとき2解の和は $$\alpha +\beta ={\displaystyle \frac{(a-2{)}^2}{4}}$$ で、積は $$\alpha \beta ={\displaystyle \frac{(a-1{)}^2}{4}}\geqq 0$$ であるから、2解はともに非負である。$\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }\leqq \mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid }$ なので $\mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid }$ は大きい方の解であり、少なくとも2解の平均以上である。よって $$\mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid }\geqq {\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}={\displaystyle \frac{(a-2{)}^2}{8}}$$ である。$0<a\leqq a_0<2$ だから $(2-a{)}^2\geqq (2-a_0{)}^2$ であり、したがって$$\mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid }\geqq {\displaystyle \frac{(2-a_0{)}^2}{8}}={\displaystyle \frac{(2\sqrt{2}-2{)}^2}{8}}={\displaystyle \frac{3-2\sqrt{2}}{2}}$$である。

一方、$a_0<a\leqq 2$ では $D_2<0$ であり、2解は共役な虚数である。したがって2解の絶対値は等しく、積の絶対値から $$\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid }=\sqrt{\mid {\displaystyle \frac{(a-1{)}^2}{4}}\mid }={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }a-1\mathrm{\mid }}{2}}$$ である。ここで $a_0=4-2\sqrt{2}>1$ なので、この範囲では $$\mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{a-1}{2}}>{\displaystyle \frac{a_0-1}{2}}={\displaystyle \frac{3-2\sqrt{2}}{2}}$$ である。

最後に $a=a_0$ のときは判別式が0で、2解は重解である。このとき $$\mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{(a_0-2{)}^2}{8}}={\displaystyle \frac{3-2\sqrt{2}}{2}}$$ となる。よって $\mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid }$ の最小値は ${\displaystyle \frac{3-2\sqrt{2}}{2}}$ である。

(1) では $t=\sqrt{x}$ により接する境界を直接求める。
(2)では二次方程式の解を平方根を含む形で書き、実根域と共役複素根域を
境界 $a=4-2\sqrt{2}$ でつなぐ。各域で絶対値が単調であることを確認する。

(1) $$t=\sqrt{x}\geqq 0$$ とおくと、共有点条件は$$2t^2-at+a-1=0$$である。$t$ の二次方程式が実数解をもつ条件は$$a^2-8a+8\geqq 0.$$$0<a\leqq 2$ より$$0<a\leqq a_0,a_0=4-2\sqrt{2}\mathrm{.}$$この範囲では解の和が正であり、積の符号も確認すれば少なくとも1つ
非負の解をもつ。従ってこれが必要十分条件である。

(2)
方程式は$$4x^2-(a-2{)}^{2}x+(a-1{)}^2=0$$となり、その解は$$x={\displaystyle \frac{(a-2{)}^2\pm a\sqrt{a^2-8a+8}}{8}}\mathrm{.}$$$0<a\leqq a_0$ では2解は非負の実数で、大きい解は$$R(a)={\displaystyle \frac{(a-2{)}^2+a\sqrt{a^2-8a+8}}{8}}\geqq {\displaystyle \frac{(a-2{)}^2}{8}}\mathrm{.}$$$a\leqq a_0<2$ より右辺は $a=a_0$ で最小となる。

$a_0<a\leqq 2$ では2解は共役で、積から両者の絶対値は$${\displaystyle \frac{a-1}{2}}$$である。これは $a$ とともに増加する。従って両領域を通じた最小値は
判別式が0となる $a=a_0$ で実現し、$$\min \mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{a_0-1}{2}}={\displaystyle \frac{3-2\sqrt{2}}{2}}\mathrm{.}$$重解なので $\alpha ,\beta$ のどちらを大きい絶対値として選んでも同じである。