京都大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

$n=1$ を条件式に代入すると $1(1-2)a_2=S_1$ である。$S_1=a_1=1$ だから $-a_2=1$ となり、$a_2=-1$ である。したがって $S_2=a_1+a_2=1-1=0$ であり、$n=2$ の式 $2(2-2)a_3=S_2$ も成り立つ。

以下、$n\geqq 3$ とする。条件より $$S_n=n(n-2)a_{n+1},S_{n-1}=(n-1)(n-3)a_n$$ である。両式の差を取ると、$S_n-S_{n-1}=a_n$ だから $$a_n=n(n-2)a_{n+1}-(n-1)(n-3)a_n$$ である。よって $$\{1+(n-1)(n-3)\}{a}_n=n(n-2)a_{n+1}$$ となる。左辺の係数は $$1+(n-1)(n-3)=1+n^2-4n+3=(n-2{)}^2$$ なので、$$(n-2{)}^2{a}_n=n(n-2)a_{n+1}$$ である。$n\geqq 3$ だから $n-2\mathrm{\ne }0$ であり、$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{n-2}{n}}{a}_n$$ を得る。

この漸化式を $a_3$ から用いると、$n\geqq 3$ で $$a_n=a_3\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{5}}\cdots {\displaystyle \frac{n-3}{n-1}}$$ である。積を整理して $$a_n=a_3{\displaystyle \frac{2}{(n-1)(n-2)}}$$ となる。

したがって$$\sum _{n=3}^N{a}_n=a_3\sum _{n=3}^N{\displaystyle \frac{2}{(n-1)(n-2)}}$$である。ここで $${\displaystyle \frac{2}{(n-1)(n-2)}}=2({\displaystyle \frac{1}{n-2}}-{\displaystyle \frac{1}{n-1}})$$ だから$$\sum _{n=3}^N{\displaystyle \frac{2}{(n-1)(n-2)}}=2(1-{\displaystyle \frac{1}{N-1}})$$である。よって$$S_N=a_1+a_2+\sum _{n=3}^N{a}_n=0+2a_3(1-{\displaystyle \frac{1}{N-1}})$$となる。$N\to \mathrm{\infty }$ とすると$$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_N=2a_3$$である。これが1に等しいので $a_3={\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。

以上より$$a_1=1,a_2=-1,a_n={\displaystyle \frac{1}{(n-1)(n-2)}}(n\geqq 3)$$である。

$a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$ を条件へ代入し、$S_n$ だけの漸化式にする。
$n=2$ では係数が0になるため、まず $S_2=0$ を確認する。
$n\geqq 3$ の積を整理して $S_n$ を $S_3$ で表し、
極限条件から $S_3=a_3$ を決める。

$n=1$ の条件から $-a_2=S_1=1$ なので $a_2=-1$、
よって $S_2=0$ である。したがって $n=2$ の条件も満たされる。

$n\geqq 3$ では$$n(n-2)(S_{n+1}-S_n)=S_n$$だから$$S_{n+1}={\displaystyle \frac{(n-1{)}^2}{n(n-2)}}{S}_n\mathrm{.}$$$S_3=a_3$ とおき、この式を順に用いると$$S_n=a_3{\displaystyle \frac{2^2}{3\cdot 1}}{\displaystyle \frac{3^2}{4\cdot 2}}\cdots {\displaystyle \frac{(n-2{)}^2}{(n-1)(n-3)}}=2a_3{\displaystyle \frac{n-2}{n-1}}\mathrm{.}$$ゆえに$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=2a_3=1,a_3={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$$n\geqq 4$ では隣接差を取り$$a_n=S_n-S_{n-1}={\displaystyle \frac{1}{(n-1)(n-2)}}\mathrm{.}$$これは $n=3$ でも成立する。したがって$$a_1=1,a_2=-1,a_n={\displaystyle \frac{1}{(n-1)(n-2)}}(n\geqq 3)\mathrm{.}$$