京都大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

$$d_k=x_{k+1}-x_k(k=1,2,\dots ,n-1)$$ とおく。与えられた条件 $$x_{k-1}-2x_k+x_{k+1}>0(2\leqq k\leqq n-1)$$ は $$(x_{k+1}-x_k)-(x_k-x_{k-1})>0$$ すなわち $$d_k>d_{k-1}(2\leqq k\leqq n-1)$$ を意味する。したがって $d_1<d_2<\cdots <d_{n-1}$ である。

このことから、差 $d_k$ の符号の並びは、負のものが先に並び、その後に必要なら0が1つだけ現れ、最後に正のものが並ぶ形に限られる。実際、$d_i\geqq 0$ となった後で $d_j<0$ となることは、$d_i<d_j$ に反する。また狭義増加なので、$d_k=0$ となる添字は高々1つである。

差がすべて正なら $x_1<x_2<\cdots <x_n$ であり、最小値をとるのは $x_1$ だけである。差がすべて負なら $x_1>x_2>\cdots >x_n$ であり、最小値をとるのは $x_n$ だけである。

途中で符号が変わる場合を考える。ある $r$ について $$d_1<\cdots <d_r<0<d_{r+1}<\cdots <d_{n-1}$$ となるなら、列は $x_{r+1}$ まで減少し、その後増加する。したがって最小値をとるのは $x_{r+1}$ だけである。

一方、ある $r$ について $$d_1<\cdots <d_{r-1}<0,d_r=0,0<d_{r+1}<\cdots <d_{n-1}$$ となるなら、列は $x_r$ まで減少し、$x_{r+1}-x_r=d_r=0$ より $x_r=x_{r+1}$ で、その後増加する。したがって最小値をとるのは $x_r,x_{r+1}$ の2つだけである。$r=1$ や $r=n-1$ の端の場合も同じく、最小値をとる項は隣り合う2つである。

以上より、$x_l=m$ となる $l$ の個数は1または2である。

最小値をとる添字が2つ以上離れて存在すると仮定し、差
$d_k=x_{k+1}-x_k$ の狭義単調増加と矛盾させる。
隣接する2項がともに最小となる可能性だけが残り、3項以上は不可能だと結論する。

$$d_k=x_{k+1}-x_k(1\leqq k\leqq n-1)$$とおく。条件$$x_k+x_{k+2}>2x_{k+1}$$は$$d_{k+1}>d_k$$と同値である。すなわち、差の列は狭義単調増加する。

最小値を $m$ とし、$i<j$ で $x_i=x_j=m$ であるとする。
もし $j\geqq i+2$ なら$$d_i+d_{i+1}+\cdots +d_{j-1}=x_j-x_i=0.$$$d_i\geqq 0$ なら、差は狭義単調増加するので上の和は正となり矛盾する。
一方 $d_i<0$ なら$$x_{i+1}=x_i+d_i<m$$となり、$m$ が最小値であることに反する。したがって、最小値をとる
2つの添字が存在するなら、それらは隣り合わなければならない。

また差の列は狭義単調増加するため、$d_k=0$ となる $k$ は高々1つである。
よって同じ最小値が3項以上連続することもない。有限個の実数
$x_1,\dots ,x_n$ は少なくとも1つ最小値をもつから、最小値をとる項の個数は$$1\text{ 個または }2\text{ 個}$$である。