京都大学 2002年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

(1) 漸化式から$$a_{n+1}+\sqrt{2}{b}_{n+1}=(a_n+\sqrt{2}{b}_n{)}^2,$$$$a_{n+1}-\sqrt{2}{b}_{n+1}=(a_n-\sqrt{2}{b}_n{)}^2\mathrm{.}$$両式を掛けると$$a_{n+1}^2-2b_{n+1}^2=(a_n^2-2b_n^2{)}^2\mathrm{.}$$初期値では $a_1^2-2b_1^2=9-8=1$ だから$$a_n^2-2b_n^2=1$$である。

(2) $m=2^{n-1}$ とおくと、平方を繰り返して$$a_n+\sqrt{2}{b}_n=(3+2\sqrt{2}{)}^m,a_n-\sqrt{2}{b}_n=(3-2\sqrt{2}{)}^m\mathrm{.}$$$$U=(3+2\sqrt{2}{)}^m,V=(3-2\sqrt{2}{)}^m$$ と書けば$${\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}=\sqrt{2}{\displaystyle \frac{U+V}{U-V}}\mathrm{.}$$ここで$${\displaystyle \frac{V}{U}}={\left({\displaystyle \frac{3-2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}}}\right)}^m⟶0$$だから$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}=\sqrt{2}\mathrm{.}$$

(1) は漸化式へ直接代入して不変量を確認する。
(2) は比 $r_n=a_n\mathrm{/}{b}_n$ の漸化式を作り、
$\sqrt{2}$ との差が毎回少なくとも半分以下になることを示す。
共役な無理数のべき展開を使わない収束証明である。

(1) $$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_{n+1}^2-2b_{n+1}^2}& {\displaystyle =(a_n^2+2b_n^2{)}^2-2(2a_n{b}_n{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(a_n^2-2b_n^2{)}^2\mathrm{.}}\end{array}$$初期値は $a_1^2-2b_1^2=1$ なので、帰納的に$$a_n^2-2b_n^2=1.$$(2)
$a_n,b_n$ は正である。$r_n=a_n\mathrm{/}{b}_n$ とおくと$$r_{n+1}={\displaystyle \frac{r_n^2+2}{2r_n}}\mathrm{.}$$(1) より $r_n^2>2$、すなわち $r_n>\sqrt{2}$ である。また$$r_{n+1}-\sqrt{2}={\displaystyle \frac{(r_n-\sqrt{2}{)}^2}{2r_n}}<{\displaystyle \frac{1}{2}}(r_n-\sqrt{2})\mathrm{.}$$よって正の差 $r_n-\sqrt{2}$ は0へ収束する。したがって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}=\sqrt{2}\mathrm{.}$$