京都大学 2001年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第5問

青・赤・白について、それぞれ一度でも取り出されたとき1、そうでないとき0となる確率変数を $X_B,X_R,X_W$ とする。取り出された色の種類数を $X$ とすれば$$X=X_B+X_R+X_W\mathrm{.}$$青が1回の試行で出ない確率は $(b+c)\mathrm{/}N$ であり、各試行は独立だから、$n$ 回とも青が出ない確率は$${\left({\displaystyle \frac{b+c}{N}}\right)}^n\mathrm{.}$$従って$$E[X_B]=1-{\left({\displaystyle \frac{b+c}{N}}\right)}^n\mathrm{.}$$同様に$$E[X_R]=1-{\left({\displaystyle \frac{c+a}{N}}\right)}^n,E[X_W]=1-{\left({\displaystyle \frac{a+b}{N}}\right)}^n\mathrm{.}$$期待値の加法性より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E_n=E[X]}& {\displaystyle =E[X_B]+E[X_R]+E[X_W]}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3-{\left({\displaystyle \frac{a+b}{N}}\right)}^n-{\left({\displaystyle \frac{b+c}{N}}\right)}^n-{\left({\displaystyle \frac{c+a}{N}}\right)}^n\mathrm{.}}\end{array}$$これで示された。

種類数 $X$ は1,2,3のいずれかなので
$E[X]=P(X\geqq 1)+P(X\geqq 2)+P(X\geqq 3)$ を用いる。
$X\geqq 2$ と $X=3$ を余事象・包除原理で計算すると単色項が消える。

取り出された色の種類数を $X$ とする。$n\geqq 1$ では$$E[X]=P(X\geqq 1)+P(X\geqq 2)+P(X\geqq 3)$$である。まず $P(X\geqq 1)=1$ である。

1色しか出ない確率は$$P(X=1)={\left({\displaystyle \frac{a}{N}}\right)}^n+{\left({\displaystyle \frac{b}{N}}\right)}^n+{\left({\displaystyle \frac{c}{N}}\right)}^n$$だから$$P(X\geqq 2)=1-{\left({\displaystyle \frac{a}{N}}\right)}^n-{\left({\displaystyle \frac{b}{N}}\right)}^n-{\left({\displaystyle \frac{c}{N}}\right)}^n\mathrm{.}$$3色すべてが出る確率は、少なくとも1色が出ない事象に包除原理を用いて$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(X=3)=}& {\displaystyle 1-{\left({\displaystyle \frac{a+b}{N}}\right)}^n-{\left({\displaystyle \frac{b+c}{N}}\right)}^n-{\left({\displaystyle \frac{c+a}{N}}\right)}^n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\left({\displaystyle \frac{a}{N}}\right)}^n+{\left({\displaystyle \frac{b}{N}}\right)}^n+{\left({\displaystyle \frac{c}{N}}\right)}^n\mathrm{.}}\end{array}$$以上を足すと単色だけの3項が消え、$$E_n=3-{\left({\displaystyle \frac{a+b}{N}}\right)}^n-{\left({\displaystyle \frac{b+c}{N}}\right)}^n-{\left({\displaystyle \frac{c+a}{N}}\right)}^n$$を得る。