京都大学 2002年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

条件を満たす順列の個数を $N_n$ とする。番号1を除いた $2,3,\dots ,n$ の相対的な順序を考える。

1を先頭に置く場合、1は新記録になり、残りの順列には新記録でない項がちょうど1つ必要だから $N_{n-1}$ 通りである。一方、$2,3,\dots ,n$ を増加順に並べ、その先頭以外の $n-1$ 箇所のいずれかへ1を挿入すれば、1だけが新記録でない項になる。逆に、1が先頭でない場合に他の項がすべて新記録となるには、他の札は増加順でなければならない。よって$$N_n=N_{n-1}+n-1,N_2=1.$$したがって$$N_n=1+2+\cdots +(n-1)={\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}\mathrm{.}$$全順列は $n!$ 通りなので、求める確率は$${\displaystyle \frac{N_n}{n!}}={\displaystyle \frac{n(n-1)}{2n!}}={\displaystyle \frac{1}{2(n-2)!}}\mathrm{.}$$

箱 $B$ に入る唯一の札を $k$ とする。その札を取り除くと、
残りはすべて取り出すたびに新記録になるため昇順でなければならない。
逆に、昇順列へ $k$ を自分より大きい札の直後に挿入すれば、
$k$ だけが箱 $B$ に入る。この一対一対応で直接数える。

箱 $B$ に入る札を $k$ とする。$k$ を取り出した列から除くと、
残る札はすべて、それ以前のどの札よりも大きい。したがって残りの札の順序は昇順である。

$k$ の直前にある札を $j$ とすれば、$k$ が箱 $B$ に入るため $k<j$ である。
逆に、任意の組$$1\leqq k<j\leqq n$$に対し、$k$ を除く札を昇順に並べ、その列で $j$ の直後へ $k$ を挿入する。
すると $k$ だけが新記録でなく、ほかはすべて新記録になる。
よって条件を満たす順列と組 $(k,j)$ は一対一に対応する。

その個数は$$(n-1)+(n-2)+\cdots +1={\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}\mathrm{.}$$全順列 $n!$ 通りは等確率なので、求める確率は$${\displaystyle \frac{n(n-1)}{2n!}}={\displaystyle \frac{1}{2(n-2)!}}\mathrm{.}$$