京都大学 2003年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第1問

(i)$\Rightarrow$(ii) $P$ が内部にあるとする。$$S_A=[PBC],S_B=[PCA],S_C=[PAB]$$ とおくと、これらはすべて正である。三角形の面積比による重心座標の公式から$$P={\displaystyle \frac{S_{A}A+S_{B}B+S_{C}C}{S_A+S_B+S_C}}\mathrm{.}$$したがって$$S_A(A-P)+S_B(B-P)+S_C(C-P)=\vec{0}\mathrm{.}$$よって $a=S_A,b=S_B,c=S_C$ とすれば(ii)を満たす。

(ii)$\Rightarrow$(i) (ii)が成り立つとする。式を整理すると$$P={\displaystyle \frac{aA+bB+cC}{a+b+c}}\mathrm{.}$$ここで$$\lambda ={\displaystyle \frac{a}{a+b+c}},\mu ={\displaystyle \frac{b}{a+b+c}},\nu ={\displaystyle \frac{c}{a+b+c}}$$とおけば、$\lambda ,\mu ,\nu >0$, $\lambda +\mu +\nu =1$ である。たとえば$$P=\lambda A+(1-\lambda ){\displaystyle \frac{\mu B+\nu C}{\mu +\nu }}$$と書ける。後半の点は辺 $BC$ の端点以外にあり、さらに $0<\lambda <1$ だから、$P$ はその点と頂点 $A$ を結ぶ線分の端点以外にある。ゆえに $P$ は三角形の周上ではなく内部にある。以上より2条件は同値である。

内部点から頂点へ引いた直線と対辺の交点を使い、2回の内分表示で正の係数を構成する。逆向きは正の係数による加重平均から辺上を除外する。

(i)$\Rightarrow$(ii)
$P$ が三角形 $ABC$ の内部にあるとする。直線 $AP$ と辺 $BC$ の交点を $D$ とする。ある $0<t<1$ により$$P=(1-t)A+tD$$と書ける。また $D$ は辺 $BC$ の内部にあるので、ある $0<u<1$ により$$D=(1-u)B+uC$$である。したがって$$P=(1-t)A+t(1-u)B+tuC\mathrm{.}$$3係数はすべて正で和が1だから$$(1-t)\overrightarrow{PA}+t(1-u)\overrightarrow{PB}+tu\overrightarrow{PC}=\vec{0}\mathrm{.}$$よって(ii)が成り立つ。

(ii)$\Rightarrow$(i)
正の $a,b,c$ に対して$$a\overrightarrow{PA}+b\overrightarrow{PB}+c\overrightarrow{PC}=\vec{0}$$なら$$P={\displaystyle \frac{aA+bB+cC}{a+b+c}}\mathrm{.}$$ここで3係数は正で和が1である。例えば $A$ の係数を固定すると、残り2頂点の正の加重平均は辺 $BC$ の内部点であり、$P$ はその点と $A$ を結ぶ線分の内部にある。したがって $P$ は三角形の内部にあり、周上にはない。