京大 2004年度文系（後期）数学第4問｜問題・解答・解説

方針

$α = x + y i$ と置くと、 $i t + 1 + α = (x + 1) + (y + t) i$ である。 $t$ が実数全体を動くとき、実部は $x + 1$ に固定され、虚部だけが自由に動く。したがってこの点は複素平面上の縦直線を動く。条件は、その縦直線が原点中心半径1の円板と交わることに等しいので、直線と原点との距離が1以下である条件 $∣ x + 1 ∣ ≦ 1$ に直す。

解答

$α = x + y i$ とおく。このとき $i t + 1 + α = i t + 1 + x + y i = (x + 1) + (y + t) i$ である。 $t$ が実数全体を動くと、実部 $x + 1$ は変わらず、虚部 $y + t$ はすべての実数値を取り得る。したがって点 $i t + 1 + α$ は、複素平面上の直線 $X = x + 1$ 上を動く。

条件 $∣ i t + 1 + α ∣ ≦ 1$ を満たす実数 $t$ が存在することは、この直線が原点中心、半径1の円板と共有点をもつことと同値である。縦直線 $X = x + 1$ と原点との距離は $∣ x + 1 ∣$ であるから、必要十分条件は $∣ x + 1 ∣ ≦ 1$ である。

これを整理すると $- 1 ≦ x + 1 ≦ 1$ すなわち $- 2 ≦ x ≦ 0$ である。よって求める範囲は、複素平面上で $- 2 ≦ Re α ≦ 0$ を満たす縦の帯状領域である。境界直線 $Re α = - 2$ および $Re α = 0$ も含む。

別解

解法2（絶対値を直接最小化）

方針

$α = x + y i$ と置き、絶対値の二乗を $t$ の2次式として最小化する。最小値が1以下となる条件を求める。

解答

$α = x + y i$ とおくと $∣ i t + 1 + α ∣^{2} = (x + 1)^{2} + (y + t)^{2} .$ $t$ は任意の実数を取れるから、右辺は $t = - y$ のとき最小となり、その最小値は $(x + 1)^{2}$ である。したがって、絶対値が1以下となる $t$ が存在するための必要十分条件は $(x + 1)^{2} ≦ 1.$ すなわち $- 2 ≦ x ≦ 0$ である。よって求める領域は $- 2 ≦ Re α ≦ 0$ で表される境界を含む縦の帯である。

総評

難度4、計算量2。目安時間は8〜12分。 $t$ が動かすのは虚部だけであり、実部は $x + 1$ に固定される。このため、複素数の絶対値不等式は「縦直線が単位円板と交わるか」という図形問題になる。 $∣ x + 1 ∣ ≦ 1$ から縦の帯 $- 2 ≦ Re α ≦ 0$ が出る。図示では境界を含むことを明確にし、 $α$ 自体ではなく $i t + 1 + α$ が動く点であることを混同しないようにしたい。

出典: 京都大学 2004年度後期文系数学。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

京都大学 2004年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第4問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

京都大学 2004年度後期日程第2次学力試験文系（後期）数学第4問