京都大学 2004年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

$\alpha =x+yi$ とおく。このとき $$(1+i)t+1+\alpha =(x+1+t)+(y+t)i$$ である。したがって、$t$ が実数全体を動くと、点 $(X,Y)$ は $X=x+1+t,Y=y+t$ を満たしながら動く。

この2式から $t$ を消去すると $Y-X=y-x-1$ である。よって、点 $(1+i)t+1+\alpha$ は傾き1の直線 $Y-X=y-x-1$ 上を動く。

条件 $\mathrm{\mid }(1+i)t+1+\alpha \mathrm{\mid }\leqq 1$ を満たす実数 $t$ が存在することは、この直線が原点中心、半径1の円板と共有点をもつことと同値である。直線 $Y-X=y-x-1$ を $Y-X-(y-x-1)=0$ と見ると、原点からこの直線までの距離は $${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }y-x-1\mathrm{\mid }}{\sqrt{(-1{)}^2+1^2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }y-x-1\mathrm{\mid }}{\sqrt{2}}}$$ である。したがって必要十分条件は ${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }y-x-1\mathrm{\mid }}{\sqrt{2}}}\leqq 1$ すなわち $\mathrm{\mid }y-x-1\mathrm{\mid }\leqq \sqrt{2}$ である。

よって求める範囲は $$-\sqrt{2}\leqq y-x-1\leqq \sqrt{2}$$ すなわち $$x+1-\sqrt{2}\leqq y\leqq x+1+\sqrt{2}$$ を満たす帯状領域である。境界の2直線も含む。

絶対値の二乗を $t$ の2次関数に展開し、平方完成する。最小値が1以下となる条件を $\alpha$ の実部・虚部で表す。

$\alpha =x+yi$ とおくと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }(1+i)t+1+\alpha {\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle =(t+x+1{)}^2+(t+y{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{(t+{\displaystyle \frac{x+y+1}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{(y-x-1{)}^2}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$$t$ は実数全体を動くから、この式の最小値は$${\displaystyle \frac{(y-x-1{)}^2}{2}}$$である。したがって条件を満たす $t$ が存在するための必要十分条件は$${\displaystyle \frac{(y-x-1{)}^2}{2}}\leqq 1,$$すなわち$$\mathrm{\mid }y-x-1\mathrm{\mid }\leqq \sqrt{2}\mathrm{.}$$よって求める領域は$$x+1-\sqrt{2}\leqq y\leqq x+1+\sqrt{2}$$で表される、境界を含む帯状領域である。