京都大学 2002年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第4問

$M_n$ を表す複素数は $(1+z_n)\mathrm{/}2$ である。相似の対応と偏角の減少する向きから$${\displaystyle \frac{z_n}{(1+z_n)\mathrm{/}2}}={\displaystyle \frac{z_{n+1}}{1}},z_{n+1}={\displaystyle \frac{2z_n}{1+z_n}}\mathrm{.}$$$w_n=1\mathrm{/}{z}_n$ とおくと$$w_{n+1}={\displaystyle \frac{w_n+1}{2}},w_1=-\sqrt{3}i\mathrm{.}$$したがって$$w_n=1-{\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}i}{2^{n-1}}},z_n={\displaystyle \frac{1}{1-2^{1-n}(1+\sqrt{3}i)}}\mathrm{.}$$$t=2^{1-n}$ とおけば$$\mathrm{\mid }{z}_n{\mathrm{\mid }}^{-2}=(1-t{)}^2+3t^2=1-2t+4t^2=4{(t-{\displaystyle \frac{1}{4}})}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}\mathrm{.}$$許される $t=1,1\mathrm{/}2,1\mathrm{/}4,\dots$ の中に $1\mathrm{/}4$ があり、これは $n=3$ に対応する。よって$$\underset{n}{\max }\mathrm{\mid }{z}_n\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3\mathrm{/}4}}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$

分数一次変換の固定点 $0,1$ を使い、
$y_n=z_n\mathrm{/}(1-z_n)$ と共役変換する。この量は毎回2倍になるので明示式が得られる。
$\mathrm{\mid }{z}_n\mathrm{\mid }$ の逆数の2乗を $2$ の整数べきに関する平方完成へ直し、
離散的な候補から最小値を選ぶ。

相似条件から$$z_{n+1}={\displaystyle \frac{2z_n}{1+z_n}}\mathrm{.}$$ここで$$y_n={\displaystyle \frac{z_n}{1-z_n}}$$とおくと、直接計算により $y_{n+1}=2y_n$ である。初期値は$$y_1={\displaystyle \frac{i\mathrm{/}\sqrt{3}}{1-i\mathrm{/}\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{-1+i\sqrt{3}}{4}}\mathrm{.}$$したがって $t=2^{n-3}$ とおけば$$y_n=t(-1+i\sqrt{3}),z_n={\displaystyle \frac{y_n}{1+y_n}}\mathrm{.}$$よって$$\mathrm{\mid }{z}_n{\mathrm{\mid }}^2={\displaystyle \frac{4t^2}{(1-t{)}^2+3t^2}}\mathrm{.}$$$u=1\mathrm{/}(2t)=2^{2-n}$ とおくと$$\mathrm{\mid }{z}_n{\mathrm{\mid }}^{-2}=1-u+u^2={(u-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}\mathrm{.}$$候補 $u=2,1,1\mathrm{/}2,1\mathrm{/}4,\dots$ の中に $1\mathrm{/}2$ があり、
$n=3$ に対応する。したがって$$\underset{n\geqq 1}{\max }\mathrm{\mid }{z}_n\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$