京都大学 2003年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

$0<p_i,q_i,r_i<1$ を用いて$$P_i=A+p_i(B-A),Q_i=B+q_i(C-B),R_i=C+r_i(A-C)$$と表す。二つの三角形の重心が一致するから$$(p_1-p_2)(B-A)+(q_1-q_2)(C-B)+(r_1-r_2)(A-C)=\vec{0}\mathrm{.}$$$$u=p_1-p_2,v=q_1-q_2,w=r_1-r_2$$ とおき、$C-B=(C-A)-(B-A)$, $A-C=-(C-A)$ を代入すると$$(u-v)(B-A)+(v-w)(C-A)=\vec{0}\mathrm{.}$$三角形は退化していないので $B-A,C-A$ は一次独立である。したがって$$u=v=w\mathrm{.}$$正三角形の一辺を $L$ とすれば$$P_1{P}_2=\mathrm{\mid }{p}_1-p_2\mathrm{\mid }L,Q_1{Q}_2=\mathrm{\mid }{q}_1-q_2\mathrm{\mid }L,R_1{R}_2=\mathrm{\mid }{r}_1-r_2\mathrm{\mid }L\mathrm{.}$$変化量が等しいので$$P_1{P}_2=Q_1{Q}_2=R_1{R}_2$$が成り立つ。

正三角形を座標平面に置き、各辺上の点を1変数で表す。重心の $x,y$ 成分を比較して、3辺上の変化量が等しいことを導く。

一辺を1として$$A=(0,0),B=(1,0),C=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$$とおく。ある $0<p_i,q_i,r_i<1$ により$$P_i=(p_i,0),$$$$Q_i=(1-{\displaystyle \frac{q_i}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}{q}_i}{2}}),$$$$R_i=({\displaystyle \frac{1-r_i}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}(1-r_i)}{2}})$$と書ける。

2つの三角形の重心が一致するので、$y$ 成分の差から$$(q_1-q_2)-(r_1-r_2)=0.$$$x$ 成分の差から$$(p_1-p_2)-{\displaystyle \frac{1}{2}}(q_1-q_2)-{\displaystyle \frac{1}{2}}(r_1-r_2)=0.$$よって$$p_1-p_2=q_1-q_2=r_1-r_2\mathrm{.}$$正三角形の3辺は同じ長さなので、絶対値を取れば$$P_1{P}_2=Q_1{Q}_2=R_1{R}_2$$である。