京都大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

$\omega$ を $${\omega }^2+\omega +1=0,{\omega }^3=1,\omega \mathrm{\ne }1$$ を満たす数とする。$x^2+x+1$ の2つの根は $\omega ,{\omega }^2$ である。

多項式 $$P(x)=(x^{100}+1{)}^{100}+(x^2+1{)}^{100}+1$$ を考える。$100\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ であるから ${\omega }^{100}=\omega$ である。また $$\omega +1=-{\omega }^2,{\omega }^2+1=-\omega$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(\omega )}& {\displaystyle =({\omega }^{100}+1{)}^{100}+({\omega }^2+1{)}^{100}+1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(\omega +1{)}^{100}+(-\omega {)}^{100}+1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(-{\omega }^2{)}^{100}+(-\omega {)}^{100}+1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\omega }^{200}+{\omega }^{100}+1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\omega }^2+\omega +1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =0.}\end{array}$$同様に、${\omega }^2$ を代入しても $$({\omega }^2{)}^{100}={\omega }^2$$ を用いれば $P({\omega }^2)=0$ となる。

よって $P(x)$ は $x^2+x+1$ の2つの根をともに根にもつ。したがって$$(x^{100}+1{)}^{100}+(x^2+1{)}^{100}+1\text{ は }{x}^2+x+1\text{ で割り切れる。}$$

法 $x^2+x+1$ で $x^3\equiv 1$ を使い、巨大な指数を3での剰余へ落とす。

法 $x^2+x+1$ で考える。このとき$$x^2+x+1\equiv 0,x^3\equiv 1$$である。$100\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ だから$$x^{100}\equiv x\mathrm{.}$$また$$x+1\equiv -x^2,x^2+1\equiv -x\mathrm{.}$$したがって、与えられた多項式を $P(x)$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(x)}& {\displaystyle \equiv (x+1{)}^{100}+(x^2+1{)}^{100}+1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \equiv (-x^2{)}^{100}+(-x{)}^{100}+1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \equiv x^{200}+x^{100}+1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \equiv x^2+x+1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \equiv 0.}\end{array}$$よって $P(x)$ は$$x^2+x+1$$で割り切れる。