京都大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

まず $A$ が単位行列の実数倍である場合を分ける。$$a=d,b=c=0$$なら $A=aE$ であり、$$L(A)=\{(r+as)E\mid r,s\text{ は実数}\}$$である。したがって零行列でない要素はすべて逆行列をもち、条件(＊)は成立する。

以下 $A$ は $E$ の実数倍でないとする。このとき $E,A$ は実数上で一次独立だから、$$rE+sA=O⟺(r,s)=(0,0)$$である。

$B=rE+sA$ とおくと$$B=\left(\begin{array}{cc}r+sa& sb\\ sc& r+sd\end{array}\right)$$であり、$$\det B=r^2+(a+d)rs+(ad-bc)s^2\mathrm{.}$$$s=0$, $r\mathrm{\ne }0$ なら $\det B=r^2>0$ である。$s\mathrm{\ne }0$ のとき $$t={\displaystyle \frac{r}{s}}$$ とおけば$${\displaystyle \frac{\det B}{s^2}}=t^2+(a+d)t+(ad-bc)\mathrm{.}$$この2次式がすべての実数 $t$ に対して0でないための必要十分条件は、判別式が負であることである。その判別式は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (a+d{)}^2-4(ad-bc)}& {\displaystyle =(a-d{)}^2+4bc\mathrm{.}}\end{array}$$判別式が0以上なら実数解 $t$ があり、$(r,s)=(t,1)$ により、一次独立性から零行列でない特異行列が得られる。

以上より必要十分条件は$$\{\begin{array}{l}a=d,b=c=0,\\ \text{または}\\ (a-d{)}^2+4bc<0\end{array}$$である。

$A$ から跡の半分だけ単位行列を引く。残りが零行列ならスカラー行列の場合として先に確定し、そうでなければ残った行列の2乗が単位行列の定数倍になることから特異行列の有無を読む。

まず次の行列を置く。$$C=A-{\displaystyle \frac{a+d}{2}}E=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{a-d}{2}}& b\\ c& -{\displaystyle \frac{a-d}{2}}\end{array}\right)\mathrm{.}$$もし $C=O$ なら$$a=d,b=c=0$$であり、$A=aE$ である。このとき$$L(A)=\{tE\mid t\text{ は実数}\}$$だから、零行列でない要素はすべて逆行列をもつ。

以下 $C\mathrm{\ne }O$ とする。直接計算すると$$C^2=\{{\displaystyle \frac{(a-d{)}^2}{4}}+bc\}E={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }}{4}}E,\mathrm{\Delta }=(a-d{)}^2+4bc\mathrm{.}$$任意の $rE+sA$ は、実数 $u$ を用いて$$rE+sA=uE+sC$$と書ける。ここで$$(uE+sC)(uE-sC)=(u^2-{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }}{4}}{s}^2)E\mathrm{.}$$$\mathrm{\Delta }<0$ なら、$(u,s)\mathrm{\ne }(0,0)$ に対して$$u^2-{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }}{4}}{s}^2>0$$だから $uE+sC$ は逆行列をもつ。

逆に $\mathrm{\Delta }\geqq 0$ なら$$u={\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2}}s$$となる組を選べる。$\mathrm{\Delta }=0$ のときも $u=0,s=1$ とすればよく、$C\mathrm{\ne }O$ だから得られる行列は零行列ではない。このとき行列式が0となるので条件(＊)に反する。

したがって必要十分条件は$$\{\begin{array}{l}a=d,b=c=0,\\ \text{または}\\ (a-d{)}^2+4bc<0\end{array}$$である。