京都大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

$$\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$$、$$\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$$、$$\overrightarrow{OC}=\mathbf{c}$$ とおく。条件 $AB\perp OC,$ より $$(\mathbf{b}-\mathbf{a})\cdot \mathbf{c}=0$$ であるから、$$\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}=\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}$$ である。同様に $BC\perp OA,CA\perp OB$ より$$\mathbf{c}\cdot \mathbf{a}=\mathbf{b}\cdot \mathbf{a},\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\mathbf{c}\cdot \mathbf{b}$$が成り立つ。したがって3つの内積$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b},\mathbf{b}\cdot \mathbf{c},\mathbf{c}\cdot \mathbf{a}$$はすべて等しい。この共通値を $p$ とおく。

また $$\mathrm{\mid }\mathbf{a}{\mathrm{\mid }}^2=x,\mathrm{\mid }\mathbf{b}{\mathrm{\mid }}^2=y,\mathrm{\mid }\mathbf{c}{\mathrm{\mid }}^2=z$$ とおく。三角形 $OAB,OBC,OCA$ の面積の2乗はそれぞれ ${\displaystyle \frac{xy-p^2}{4}},{\displaystyle \frac{yz-p^2}{4}},{\displaystyle \frac{zx-p^2}{4}}$ である。4つの面の面積がすべて等しいので、特にこの3つは等しく、$xy=yz=zx$ を得る。$x,y,z>0$ であるから $x=y=z=s$ とおける。

このとき三角形 $OAB$ の面積の2乗は ${\displaystyle \frac{s^2-p^2}{4}}$ である。一方、三角形 $ABC$ について$$\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a},\overrightarrow{AC}=\mathbf{c}-\mathbf{a}$$とすると $$\mathrm{\mid }\mathbf{b}-\mathbf{a}{\mathrm{\mid }}^2=2(s-p),\mathrm{\mid }\mathbf{c}-\mathbf{a}{\mathrm{\mid }}^2=2(s-p),$$ また $$(\mathbf{b}-\mathbf{a})\cdot (\mathbf{c}-\mathbf{a})=p-p-p+s=s-p$$ である。よって三角形 $ABC$ の面積の2乗は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{4}}\{2(s-p)\cdot 2(s-p)-(s-p{)}^2\}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3(s-p{)}^2}{4}}\mathrm{.}}\end{array}$$面積が等しいから $s^2-p^2=3(s-p{)}^2\mathrm{.}$ 四面体はつぶれていないので $s-p>0$ であり、両辺を $s-p$ で割ると $s+p=3(s-p)$ となる。したがって $$p={\displaystyle \frac{s}{2}}$$ である。

最後に各辺の長さを比べると $O{A}^2=O{B}^2=O{C}^2=s$ であり、また $$A{B}^2=\mathrm{\mid }\mathbf{b}-\mathbf{a}{\mathrm{\mid }}^2=2(s-p)=s$$ である。同様に $B{C}^2=C{A}^2=s$ である。したがって6本の辺はすべて等しく、四面体 $OABC$ は正四面体である。

3本の頂点辺の長さと、その間の角の余弦を用いる。対辺との直交条件で3つの内積を共通化し、面積条件を順に使って全辺をそろえる。

辺の長さを$$OA=u,OB=v,OC=w$$とし、$$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OA}=q$$とおく。この3つが等しいことは、例えば$$\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{BC}$$から$$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}$$を得ることと、残り2条件を巡回的に使うことから従う。

三角形 $OAB,OBC,OCA$ の面積の4倍の2乗は、それぞれ$$u^2{v}^2-q^2,v^2{w}^2-q^2,w^2{u}^2-q^2$$である。これらが等しく、$u,v,w>0$ だから$$u=v=w=\mathrm{\ell }$$である。

このとき$$A{B}^2=B{C}^2=C{A}^2=2({\mathrm{\ell }}^2-q)$$なので、三角形 $ABC$ は正三角形である。その面積の2乗は$${\displaystyle \frac{3}{4}}({\mathrm{\ell }}^2-q{)}^2$$であり、三角形 $OAB$ の面積の2乗は$${\displaystyle \frac{1}{4}}({\mathrm{\ell }}^4-q^2)$$である。両者が等しいため$${\mathrm{\ell }}^4-q^2=3({\mathrm{\ell }}^2-q{)}^2\mathrm{.}$$${\mathrm{\ell }}^2-q>0$ で割ると$${\mathrm{\ell }}^2+q=3({\mathrm{\ell }}^2-q),q={\displaystyle \frac{{\mathrm{\ell }}^2}{2}}\mathrm{.}$$したがって$$A{B}^2=B{C}^2=C{A}^2={\mathrm{\ell }}^2=O{A}^2=O{B}^2=O{C}^2\mathrm{.}$$6辺がすべて等しいので、四面体 $OABC$ は正四面体である。