京都大学 2004年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第5問

棒の長さを $h$ メートルとする。棒は点 $O$ から水平面に垂直に立っているので、点 $A$ から見たときの水平距離は $OA$、高さは $h$ である。

点 $A$ からの仰角が ${45}^{\circ }$ であるから、$$\tan {45}^{\circ }={\displaystyle \frac{h}{OA}}$$ である。$\tan {45}^{\circ }=1$ より $OA=h$ である。また、$A$ は線分 $OB$ 上にあり $AB=1$ だから、$OB=OA+AB=h+1$ である。

点 $B$ からの仰角は ${44}^{\circ }$ なので、$$\tan {44}^{\circ }={\displaystyle \frac{h}{h+1}}$$ である。ここで $t=\tan 1^{\circ }$ とおく。$${44}^{\circ }={45}^{\circ }-1^{\circ }$$ だから、正接の加法定理より $$\tan {44}^{\circ }=\tan ({45}^{\circ }-1^{\circ })={\displaystyle \frac{1-t}{1+t}}$$ である。したがって $${\displaystyle \frac{h}{h+1}}={\displaystyle \frac{1-t}{1+t}}$$ である。両辺を整理すると $h(1+t)=(h+1)(1-t)$ より $2th=1-t$ である。よって $$h={\displaystyle \frac{1-t}{2t}}={\displaystyle \frac{1}{2t}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。

与えられた条件は $0.01745<t<0.01746$ である。$$h={\displaystyle \frac{1}{2t}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ は $t>0$ で $t$ が大きいほど小さいので、$${\displaystyle \frac{1}{2\cdot 0.01746}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}<h<{\displaystyle \frac{1}{2\cdot 0.01745}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。数値を評価すると $28.1<h<28.2$ となる。したがって、小数点以下を四捨五入した棒の長さは $28$ メートルである。

高さを $h$ とすると、水平距離はそれぞれ $h\cot {45}^{\circ }$、$h\cot {44}^{\circ }$ である。その差が1であることから $h$ を直接求める。

棒の長さを $h$ メートルとする。点 $A$、$B$ から棒の根元 $O$ までの水平距離は$$OA=h\cot {45}^{\circ }=h,OB=h\cot {44}^{\circ }$$である。$OB-OA=AB=1$ だから$$h(\cot {44}^{\circ }-1)=1.$$$t=\tan 1^{\circ }$ とおけば$$\tan {44}^{\circ }={\displaystyle \frac{1-t}{1+t}},\cot {44}^{\circ }={\displaystyle \frac{1+t}{1-t}}\mathrm{.}$$したがって$$\cot {44}^{\circ }-1={\displaystyle \frac{2t}{1-t}}$$より$$h={\displaystyle \frac{1-t}{2t}}={\displaystyle \frac{1}{2t}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$あとは $0.01745<t<0.01746$ を代入して$$28.1<h<28.2$$を得るので、四捨五入した答えは $28$ メートルである。