京都大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

$u=\sin x+\cos x$ とおく。このとき $$-\sqrt{2}\leqq u\leqq \sqrt{2}$$ であり，$$u^2={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x+2\sin x\cos x=1+2\sin x\cos x$$ より $$\sin x\cos x={\displaystyle \frac{u^2-1}{2}}$$ である。また$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x}& {\displaystyle =(\sin x+\cos x)({\sin }^{2}x-\sin x\cos x+{\cos }^{2}x)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =u(1-\sin x\cos x)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =u(1-{\displaystyle \frac{u^2-1}{2}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{u(3-u^2)}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって与えられた方程式は $$2\sqrt{2}\cdot {\displaystyle \frac{u(3-u^2)}{2}}+3\cdot {\displaystyle \frac{u^2-1}{2}}=0$$ である。両辺を整理し，符号を反転して $$P(u)=2\sqrt{2}{u}^3-3u^2-6\sqrt{2}u+3=0$$ を考えればよい。

導関数は$$P^{\mathrm{\prime }}(u)=6\sqrt{2}{u}^2-6u-6\sqrt{2}=6\sqrt{2}(u+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})(u-\sqrt{2})$$である。したがって $$-\sqrt{2}\leqq u\leqq \sqrt{2}$$ において，$P(u)$ は $$-\sqrt{2}\leqq u\leqq -{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$ で増加し，$$-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\leqq u\leqq \sqrt{2}$$ で減少する。

端点と極大点での値を調べると $P(-\sqrt{2})=1,$ $$P(-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})={\displaystyle \frac{13}{2}},$$ $P(\sqrt{2})=-7$ である。よって前半の区間では根を持たず，後半の区間で正から負へ1回だけ変わる。したがって許される範囲 $[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$ の中に $P(u)=0$ の根はただ1個あり，しかもそれは端点ではない。

最後に $u=\sin x+\cos x$ に戻る。 $$\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin (x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$$ であるから，$-\sqrt{2}<u<\sqrt{2}$ の各値に対して，$0\leqq x<2\pi$ で解は2個ある。今回の $u$ の根は端点ではないので，求める $x$ の個数は $2$ である。

許容範囲 $$-\sqrt{2}\leqq u\leqq \sqrt{2}$$ での増減。