京都大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

$X=(x_{ij}),Y=(y_{ij})$ とおく。成分比較すると$$\begin{array}{rlrl}{\displaystyle y_{11}}& {\displaystyle =(2-\alpha )x_{11},}& {\displaystyle y_{21}}& {\displaystyle =x_{11}+(1-\alpha )x_{21},}\\ {\displaystyle y_{12}}& {\displaystyle =(2-\beta )x_{12},}& {\displaystyle y_{22}}& {\displaystyle =x_{12}+(1-\beta )x_{22}\mathrm{.}}\end{array}$$第1列について、任意の $(y_{11},y_{21})$ に対して $(x_{11},x_{21})$ が存在するための必要十分条件は$$(2-\alpha )(1-\alpha )\mathrm{\ne }0.$$同様に第2列については$$(2-\beta )(1-\beta )\mathrm{\ne }0$$である。したがって求める必要十分条件は$$\alpha \mathrm{\ne }1,2,\beta \mathrm{\ne }1,2$$である。実際、この条件のもとでは上の4式を上から順に解いて、任意の $Y$ に対する $X$ を構成できる。

各列ベクトルへの作用を $A-\alpha I$、$A-\beta I$ と捉える。任意の右辺へ写せる条件は、それぞれの行列が正則であることに等しい。

$X$ と $Y$ の第 $j$ 列をそれぞれ ${\vec{x}}_j$、${\vec{y}}_j$ とする。$B$ は対角行列なので$$AX-XB=Y$$は列ごとに$$(A-\alpha I){\vec{x}}_1={\vec{y}}_1,(A-\beta I){\vec{x}}_2={\vec{y}}_2$$と書ける。任意の ${\vec{y}}_1$、${\vec{y}}_2$ に対して解が存在するための必要十分条件は、$A-\alpha I$、$A-\beta I$ がともに正則であることである。$$\det (A-\lambda I)=\det \left(\begin{array}{cc}2-\lambda & 0\\ 1& 1-\lambda \end{array}\right)=(2-\lambda )(1-\lambda )$$だから、$$\alpha \mathrm{\ne }1,2,\beta \mathrm{\ne }1,2$$が必要十分条件である。