京都大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)

まず$$A^2=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ -1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ -1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 4\\ -1& -3\end{array}\right)$$である。一方$$A-2E=\left(\begin{array}{cc}0& 4\\ -1& -3\end{array}\right)$$だから $A^2=A-2E$ である。これを順に用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A^3}& {\displaystyle =A(A-2E)=A^2-2A=-A-2E,}\\ {\displaystyle A^4}& {\displaystyle =A(-A-2E)=-A^2-2A=-3A+2E,}\\ {\displaystyle A^6}& {\displaystyle =(A^3{)}^2\text{としてもよいが、}}\\ {\displaystyle A^5}& {\displaystyle =A(-3A+2E)=-3A^2+2A=-A+6E,}\\ {\displaystyle A^6}& {\displaystyle =A(-A+6E)=-A^2+6A=5A+2E}\end{array}$$となる。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle A^6+2A^4+2A^3+2A^2+2A+3E}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(5A+2E)+2(-3A+2E)+2(-A-2E)+2(A-2E)+2A+3E}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =A+E}\end{array}$$である。よって求める行列は$$A+E=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ -1& 0\end{array}\right)$$である。

(2) $n$ 秒後に点 $P$ が頂点 $O$ にある確率を $p_n$ とする。初期状態より $p_0=1$ である。

頂点 $O$ は底面の4頂点と辺で結ばれているので、$O$ にいる点は次の1秒で必ず $O$ 以外へ移る。また、底面の各頂点から出る辺は、頂点 $O$ へ向かう1本と、底面上の隣の2頂点へ向かう2本の合計3本である。したがって、$n$ 秒後に $O$ 以外にいる確率 $1-p_n$ のうち、次に $O$ へ移る確率は ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ であるから $p_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{3}}(1-p_n)$ を得る。

この漸化式の定数解を $r$ とすると $r={\displaystyle \frac{1}{3}}(1-r)$ より $r={\displaystyle \frac{1}{4}}$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p_{n+1}-{\displaystyle \frac{1}{4}}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{3}}(1-p_n)-{\displaystyle \frac{1}{4}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{1}{3}}(p_n-{\displaystyle \frac{1}{4}})}\end{array}$$となる。したがって$$p_n-{\displaystyle \frac{1}{4}}={(-{\displaystyle \frac{1}{3}})}^n(p_0-{\displaystyle \frac{1}{4}})={\displaystyle \frac{3}{4}}{(-{\displaystyle \frac{1}{3}})}^n$$である。ゆえに $${\displaystyle p_n={\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}{(-{\displaystyle \frac{1}{3}})}^n}$$ である。

5頂点を「$O$」と「底面」の2状態へまとめると、漸化式が1本に閉じる。

(1) では$A$が満たす2次式を法として与式の多項式を1次式へ還元する。(2)では$O$と底面の2状態の遷移行列を作り、一定の成分と毎回$-1\mathrm{/}3$倍される差の成分に分ける。

(1) $$A^2-A+2E=O$$である。したがって多項式$$F(t)=t^6+2t^4+2t^3+2t^2+2t+3$$を$t^2-t+2$で割った余りだけを求めればよい。関係$$t^2\equiv t-2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{t}^2-t+2)$$を順に用いると$$t^3\equiv -t-2,t^4\equiv -3t+2,t^6\equiv 5t+2.$$よって$$F(t)\equiv t+1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{t}^2-t+2)\mathrm{.}$$したがって$$F(A)=A+E=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ -1& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$$(2)

$n$秒後に$O$にいる確率と底面にいる確率を並べた列ベクトルを$${\mathit{v}}_n=\left(\begin{array}{c}{p}_n\\ 1-p_n\end{array}\right)$$とする。遷移は$${\mathit{v}}_{n+1}=\left(\begin{array}{cc}0& {\displaystyle \frac{1}{3}}\\ 1& {\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}\right){\mathit{v}}_n,{\mathit{v}}_0=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\mathrm{.}$$変化しない成分は$$\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{4}}\\ {\displaystyle \frac{3}{4}}\end{array}\right)$$である。また、直接掛ければ$$\left(\begin{array}{cc}0& {\displaystyle \frac{1}{3}}\\ 1& {\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$$である。そこで初期ベクトルを$${\mathit{v}}_0=\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{4}}\\ {\displaystyle \frac{3}{4}}\end{array}\right)+{\displaystyle \frac{3}{4}}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$$と分ければ$${\mathit{v}}_n=\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{4}}\\ {\displaystyle \frac{3}{4}}\end{array}\right)+{\displaystyle \frac{3}{4}}{(-{\displaystyle \frac{1}{3}})}^n\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)\mathrm{.}$$第1成分から$$p_n={\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}{(-{\displaystyle \frac{1}{3}})}^n$$を得る。