京都大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験理系（甲）数学 第1問

(1)

まず$$A^2=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ -1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ -1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 4\\ -1& -3\end{array}\right)=A-2E$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A^3}& {\displaystyle =A^2-2A=-A-2E,}\\ {\displaystyle A^4}& {\displaystyle =-A^2-2A=-3A+2E,}\\ {\displaystyle A^5}& {\displaystyle =-3A^2+2A=-A+6E,}\\ {\displaystyle A^6}& {\displaystyle =-A^2+6A=5A+2E}\end{array}$$である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle A^6+2A^4+2A^3+2A^2+2A+3E}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(5A+2E)+2(-3A+2E)+2(-A-2E)+2(A-2E)+2A+3E}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =A+E}\end{array}$$となる。したがって求める行列は$$\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ -1& 0\end{array}\right)$$である。

(2)

1回目、2回目、3回目の得点をそれぞれ $x_1,x_2,x_3$ とする。求める条件は $$1\leqq x_1\leqq x_2\leqq x_3\leqq n$$ である。

このような組は、$1,2,\dots ,n$ から重複を許して3個を選び、小さい順に並べたものと一対一に対応する。したがって個数は $${}_{n+3-1}{\mathrm{C}}_3={}_{n+2}{\mathrm{C}}_3={\displaystyle \frac{n(n+1)(n+2)}{6}}$$ である。

確認のため、$$y_1=x_1,y_2=x_2+1,y_3=x_3+2$$ とおくと $$1\leqq y_1<y_2<y_3\leqq n+2$$ となり、この選び方が ${}_{n+2}{\mathrm{C}}_3$ 通りであることからも同じ数え上げになる。

全事象は、3回それぞれ $n$ 通りで $n^3$ 通りである。各組は等確率なので、求める確率は$${\displaystyle \frac{{}_{n+2}{\mathrm{C}}_3}{n^3}}={\displaystyle \frac{n(n+1)(n+2)}{6n^3}}={\displaystyle {\displaystyle \frac{(n+1)(n+2)}{6n^2}}}$$である。

非減少列を狭義増加列へ移すと、${}_{n+2}{\mathrm{C}}_3$が直接数えられる。

(1) は特性方程式から高次式を還元する。(2)は非減少な3得点を、3つとも等しい場合、ちょうど2つが等しい場合、すべて異なる場合に分ける。高校数学の組合せだけで直接数える。

(1)

$A$の特性多項式は$${\lambda }^2-\lambda +2$$なので、ケーリー・ハミルトンの定理より$$A^2-A+2E=O\mathrm{.}$$これを法として高次を落とすと$$A^3=-A-2E,A^4=-3A+2E,A^6=5A+2E\mathrm{.}$$したがって与式は$$A+E=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ -1& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$$(2)

条件$$1\leqq x_1\leqq x_2\leqq x_3\leqq n$$を満たす三つ組を、一致の型で分類する。

3つとも等しい場合は、その共通値を選んで$n$通りである。ちょうど2つが等しい場合は、異なる2つの値を選ぶ方法が${}_n{\mathrm{C}}_2$通りあり、小さい方を2回使うか大きい方を2回使うかで$$2{}_n{\mathrm{C}}_2$$通りである。すべて異なる場合は$${}_n{\mathrm{C}}_3$$通りである。したがって条件を満たす三つ組は$$n+2{}_n{\mathrm{C}}_2+{}_n{\mathrm{C}}_3={\displaystyle \frac{n(n+1)(n+2)}{6}}\mathrm{.}$$全事象は$n^3$通りだから、求める確率は$${\displaystyle \frac{(n+1)(n+2)}{6n^2}}$$である。