京都大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

整式 $P(x)$ を2次式 $Q(x)$ で割ると $P(x)=A(x)Q(x)+R(x)$ と書ける。ただし余り $R(x)$ は $0$ であるか，または1次以下の整式である。いま $P(x)$ は $Q(x)$ で割り切れないので，$R(x)\mathrm{\ne }0$ である。

この式を平方すると $$P(x{)}^2=A(x{)}^{2}Q(x{)}^2+2A(x)Q(x)R(x)+R(x{)}^2$$ である。右辺の初めの2項は $Q(x)$ で割り切れるので，$P(x{)}^2$ を $Q(x)$ で割った余りは，$R(x{)}^2$ を $Q(x)$ で割った余りと同じである。ところが仮定より $P(x{)}^2$ は $Q(x)$ で割り切れるから，$Q(x)$ は $R(x{)}^2$ を割り切る。

ここで $R(x)$ が0でない定数なら $R(x{)}^2$ も0でない定数であり，2次式 $Q(x)$ で割り切れることはありえない。したがって $R(x)$ は1次式である。$R(x)=ax+b$ $a\mathrm{\ne }0$ と書くと，$R(x{)}^2$ と $Q(x)$ はどちらも2次式で，$Q(x)$ が $R(x{)}^2$ を割り切るので，ある0でない定数 $c$ によって $R(x{)}^2=cQ(x)$ と書ける。つまり $$Q(x)={\displaystyle \frac{1}{c}}(ax+b{)}^2$$ である。したがって2次方程式 $Q(x)=0$ は $ax+b=0$ を2重に持つ。ゆえに $Q(x)=0$ は重解を持つ。

2次方程式 $Q(x)=0$ が異なる2根をもつと仮定し，$Q\mid P^2$ から2根がとも $P$ の根になることを示す。すると2次式 $Q$ が $P$ を割り切り，仮定に反する。

$Q(x)=0$ が異なる2つの根 $\alpha ,\beta$ をもつと仮定する。根は複素数まで含めて考えてよい。$Q$ が $P^2$ を割り切るから$$P(\alpha {)}^2=0,P(\beta {)}^2=0$$であり，$$P(\alpha )=P(\beta )=0$$を得る。したがって因数定理より $P(x)$ は $x-\alpha$ と $x-\beta$ の両方を因数にもつ。

$\alpha \mathrm{\ne }\beta$ なので2つの1次因子は互いに素であり，$Q(x)$ は0でない定数 $q$ を用いて$$Q(x)=q(x-\alpha )(x-\beta )$$と書ける。ゆえに $Q(x)$ は $P(x)$ を割り切る。これは「$P(x)$ は $Q(x)$ では割り切れない」という仮定に反する。

したがって $Q(x)=0$ は異なる2根をもたず，2次方程式であるから重解をもつ。