京都大学 2006年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第4問

$k$ を0以上の整数とし、$k\leqq x<k+1$ とする。このとき$$[x+1]-x=k+1-x\mathrm{.}$$上下の境界が交わる $x$ 座標は$${\displaystyle \frac{x}{n+{\displaystyle \frac{1}{2}}}}=k+1-x$$より$$x={\displaystyle \frac{(2n+1)(k+1)}{2n+3}}$$である。この値が $k$ 以上となるのは $0\leqq k\leqq n$ のときであり、その区間内での底辺の長さは$${\displaystyle \frac{(2n+1)(k+1)}{2n+3}}-k={\displaystyle \frac{2n+1-2k}{2n+3}}\mathrm{.}$$また $x=k$ における上下の境界の差、すなわち高さは$$1-{\displaystyle \frac{k}{n+{\displaystyle \frac{1}{2}}}}={\displaystyle \frac{2n+1-2k}{2n+1}}\mathrm{.}$$したがって、$k\leqq x<k+1$ に含まれる部分の面積は$${\displaystyle \frac{(2n+1-2k{)}^2}{2(2n+1)(2n+3)}}\mathrm{.}$$よって $D_n$ の面積は$${\displaystyle \frac{1}{2(2n+1)(2n+3)}}\sum _{k=0}^n(2n+1-2k{)}^2\mathrm{.}$$ここで$$\sum _{k=0}^n(2n+1-2k{)}^2=1^2+3^2+\cdots +(2n+1{)}^2={\displaystyle \frac{(n+1)(2n+1)(2n+3)}{3}}\mathrm{.}$$したがって求める面積は$${\displaystyle \frac{n+1}{6}}$$である。

和の検算

奇数平方和は平方和の公式から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 1^2+3^2+\cdots +(2n+1{)}^2}& {\displaystyle =\sum _{j=1}^{2n+1}{j}^2-4\sum _{j=1}^n{j}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(n+1)(2n+1)(2n+3)}{3}}}\end{array}$$とも確認できる。これを代入すると分母の $(2n+1)(2n+3)$ が消え，面積 ${\displaystyle \frac{n+1}{6}}$ を得る。

図は $n=3$ の模式図．整数区間ごとの小三角形を足し合わせる．