Evolton
方針
交点の個数は、方程式 の実数解の個数である。左辺を とおき、増減表で極大値・極小値を求める。 と水平線 の共有点数を読む問題に置き換え、極値と一致する場合は接するので異なる実数解が2個になることまで分ける。
解答
交点の 座標は を満たす。これを整理すると である。
したがって とおき、曲線 と水平線 の共有点数を調べればよい。
微分すると である。よって の符号はとなる。したがって は で極大、 で極小をとる。
極値は であり、である。
水平線 との共有点数は、2つの極値を境に変わる。
また、 は3次関数で最高次係数が正なので、 で 、 で である。したがって水平線 との共有点数は、極小値 と極大値 を境に変わる。
以上より、交点の個数はである。 と では、極値の点で接するため重解を含み、異なる交点の個数は2個である。
総評
3次関数と直線の交点数を、3次関数と水平線の交点数に直す典型問題である。計算量は小さいが、 から へ移す段階で符号を誤ると全体が崩れる。極大値 と極小値 の大小が近いので、分数計算を丁寧に行うこと。境界では「重解を1個と数える」のではなく「異なる実数解が2個」と書き分けるのが採点上重要である。目安時間は12分程度。