京都大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験理系（乙）数学 第6問

(1) 加法公式で $a=b=x$ とすると$$f(2x)={\displaystyle \frac{2f(x)}{1+f(x{)}^2}}$$である。任意の実数 $u$ に対して$$1-{\left({\displaystyle \frac{2u}{1+u^2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{(u^2-1{)}^2}{(1+u^2{)}^2}}\geqq 0$$だから$$\mid {\displaystyle \frac{2u}{1+u^2}}\mid \leqq 1$$である。任意の実数 $a$ に対し $x=a\mathrm{/}2$ とすれば、これより $\mathrm{\mid }f(a)\mathrm{\mid }\leqq 1$ を得る。

等号が成り立つと仮定する。例えば $f(a)=1$ なら、上の不等式の等号条件から $f(a\mathrm{/}2)=1$ である。同様に繰り返すと$$f\left({\displaystyle \frac{a}{2^n}}\right)=1$$が全ての自然数 $n$ で成り立つ。しかし $a\mathrm{/}{2}^n\to 0$ であり $f$ は連続だから、左辺は $f(0)=0$ に収束し、矛盾する。$f(a)=-1$ の場合も同様である。よって$$-1<f(a)<1$$である。

(2) 加法公式を$b$について微分すると$$f^{\mathrm{\prime }}(a+b)={\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }}(b)\{1-f(a{)}^2\}}{\{1+f(a)f(b){\}}^2}}\mathrm{.}$$ここで$b=0$とし、$f(0)=0,f^{\mathrm{\prime }}(0)=1$を用いると$$f^{\mathrm{\prime }}(a)=1-f(a{)}^2$$を得る。(1)より$$f^{\mathrm{\prime }}(a)>0$$であるから $f$ は単調に増加する。特に $x>0$ では $f(x)>f(0)=0$ である。

さらに $f^{\mathrm{\prime }}(x)=1-f(x{)}^2$ を微分すると$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-2f(x)f^{\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{.}$$$x>0$ では $f(x)>0$ かつ $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ なので$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0.$$したがって $y=f(x)$ のグラフは $x>0$ で上に凸である。

導かれる式$f^{\mathrm{\prime }}=1-f^2$から、増加性と$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=-2f{f}^{\mathrm{\prime }}<0$が同時に分かる。

加法公式を微分して$f^{\mathrm{\prime }}=1-f^2$を得る。変数分離して初期条件を使えば$f$を指数関数で明示できる。その式から値域と2階導関数の符号を直接確認する。

(1)

加法公式で$a=b=x\mathrm{/}2$とおき、$u=f(x\mathrm{/}2)$とすると$$f(x)={\displaystyle \frac{2u}{1+u^2}}\mathrm{.}$$したがって$$1-f(x{)}^2={\displaystyle \frac{(u^2-1{)}^2}{(1+u^2{)}^2}}\geqq 0$$であり、$\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }\leqq 1$である。

もし$\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }=1$なら等号条件から$\mathrm{\mid }f(x\mathrm{/}2)\mathrm{\mid }=1$であり、同じ議論を繰り返すと$$\mid f\left({\displaystyle \frac{x}{2^k}}\right)\mid =1$$がすべての正の整数$k$で成り立つ。しかし$x\mathrm{/}{2}^k\to 0$であり、$f$の連続性と$f(0)=0$に反する。よって$$-1<f(x)<1$$である。

次に加法公式を$b$で微分し、$b=0$とすると$$\begin{array}{cccc}& f^{\mathrm{\prime }}(x)=1-f(x{)}^2\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$(1)で示した不等式により分母は0にならないので、(1)を変数分離すると$$\int {\displaystyle \frac{df}{1-f^2}}=\int dx\mathrm{.}$$左辺を部分分数に分けて$f(0)=0$を用いると$${\displaystyle \frac{1}{2}}\log {\displaystyle \frac{1+f(x)}{1-f(x)}}=x\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{cccc}& {\displaystyle \frac{1+f(x)}{1-f(x)}}=e^{2x},f(x)={\displaystyle \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}\mathrm{.}& & \text{(2)}\end{array}$$(2)の分母は正であり$$-1<{\displaystyle \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}<1$$だから(1)が成り立つ。

(2)

また$x>0$では$f(x)>0$である。(1)から$f^{\mathrm{\prime }}(x)=1-f(x{)}^2>0$であり、さらに$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-2f(x)f^{\mathrm{\prime }}(x)<0.$$よって$y=f(x)$のグラフは$x>0$で上に凸である。