京都大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

点 $A,B,C$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ とする。$P,Q,R$ はそれぞれ辺の頂点以外の点なので，$$\vec{p}=(1-s)\vec{a}+s\vec{b},\vec{q}=(1-t)\vec{b}+t\vec{c},\vec{r}=(1-u)\vec{c}+u\vec{a}$$と書ける。ただし $$0<s<1,0<t<1,0<u<1$$ である。

三角形 $PQR$ の重心を $G$ とすると $$\vec{g}={\displaystyle \frac{\vec{p}+\vec{q}+\vec{r}}{3}}$$ である。これを $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ の係数で整理すると $$\vec{g}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}+\gamma \vec{c}$$ ただし$$\alpha ={\displaystyle \frac{1-s+u}{3}},\beta ={\displaystyle \frac{s+1-t}{3}},\gamma ={\displaystyle \frac{t+1-u}{3}}$$である。明らかに $\alpha +\beta +\gamma =1$ であり，$0<s,t,u<1$ より $$0<\alpha <{\displaystyle \frac{2}{3}},0<\beta <{\displaystyle \frac{2}{3}},0<\gamma <{\displaystyle \frac{2}{3}}$$ が成り立つ。したがって $G$ は三角形 $ABC$ の内部にあり，しかもどの頂点に対応する重みも ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ 以上にはならない。

逆に，三角形 $ABC$ の内部の点 $G$ が$$\vec{g}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}+\gamma \vec{c},\alpha +\beta +\gamma =1$$と表され，さらに $$0<\alpha ,\beta ,\gamma <{\displaystyle \frac{2}{3}}$$ を満たすとする。このとき $$\max (0,1-3\alpha ,3\beta -1)<s<\min (1,2-3\alpha ,3\beta )$$ を満たす $s$ を選べる。実際，この区間が空でないことは，$\alpha ,\beta ,\gamma >0$ と $$\alpha ,\beta ,\gamma <{\displaystyle \frac{2}{3}}$$ から $$1-3\alpha <3\beta ,3\beta -1<2-3\alpha$$ などが成り立つことで確認できる。そこで $$t=1+s-3\beta ,u=3\alpha -1+s$$ とおけば，$0<s,t,u<1$ となり，上の式からこの $G$ が実際に重心として得られる。

よって求める範囲は $$0<\alpha ,\beta ,\gamma <{\displaystyle \frac{2}{3}},\alpha +\beta +\gamma =1$$ を満たす点 $$G=\alpha A+\beta B+\gamma C$$ 全体である。図示すると，三角形 $ABC$ の各頂点から出る2辺上の三等分点のうち頂点に近い点どうしを結ぶ。これにより各頂点側にできる3つの小三角形を取り除き，残った中央の六角形の内部が求める範囲である。境界は $P,Q,R$ が頂点に近づく極限でしか得られないため含まない。