京都大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験理系（乙）数学 第3問

各直線の方向ベクトルをそれぞれ ${\vec{u}}_1,{\vec{u}}_2,{\vec{u}}_3,{\vec{u}}_4$ とする。どの3直線も同一平面上にないので、これらから任意に選んだ3ベクトルは1次独立である。

一方、空間の4ベクトルは1次従属であるから、全てが0ではない実数 $c_1,c_2,c_3,c_4$ が存在して$$c_1{\vec{u}}_1+c_2{\vec{u}}_2+c_3{\vec{u}}_3+c_4{\vec{u}}_4=\vec{0}$$となる。ここで各 $c_i$ は0でない。実際、例えば $c_1=0$ なら残りの3ベクトルが1次従属となり、先の条件に反する。他の係数についても同様である。

4直線上に点 $A,B,C,D$ を$$\overrightarrow{OA}=c_1{\vec{u}}_1,\overrightarrow{OB}=-c_2{\vec{u}}_2,\overrightarrow{OC}=c_4{\vec{u}}_4,\overrightarrow{OD}=-c_3{\vec{u}}_3$$によって定める。各係数は0でないから、これらは全て $O$ とは異なる点である。また上の1次関係から$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}$$を得る。したがって線分 $AC$ と $BD$ の中点は一致し、4点 $A,B,C,D$ はこの順に平行四辺形の頂点となる。

さらに、上式から $$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$$ なので、$D$ は $A,B,C$ を通る平面上にある。この平面が $O$ を通るとすると、3ベクトル $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ が同一平面内にあり、${\vec{u}}_1,{\vec{u}}_2,{\vec{u}}_4$ の1次独立性に反する。よってこの平面は $O$ を通らず、各直線との交点はちょうど $A,B,C,D$ である。

以上により、条件を満たす平面が存在する。

4直線との交点を、対角線の中点が一致するように選ぶ。