京都大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験理系（甲）数学 第2問

漸化式 $$a_{n+1}=x{a}_n+y^{n+1},a_1=0$$ を順に展開する。$n\geqq 2$ について$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_n}& {\displaystyle =x^{n-2}{y}^2+x^{n-3}{y}^3+\cdots +x{y}^{n-1}+y^n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =y^2(x^{n-2}+x^{n-3}y+\cdots +x{y}^{n-3}+y^{n-2})}\end{array}$$である。$x\mathrm{\ne }y$ だから等比数列の和より $$a_n=y^2{\displaystyle \frac{x^{n-1}-y^{n-1}}{x-y}}$$ となる。この式は $n=1$ でも右辺が0になるので、すべての $n\geqq 1$ で成り立つ。

まず $0<x<1,0<y<1$ のときは $x^{n-1}\to 0,y^{n-1}\to 0$ であるから $a_n\to 0$ となり、有限の値に収束する。

次に境界を調べる。$x=1,0<y<1$ のときは $$a_n=y^2{\displaystyle \frac{1-y^{n-1}}{1-y}}$$ であり、$$a_n\to {\displaystyle \frac{y^2}{1-y}}$$ となる。また $0<x<1,y=1$ のときは $$a_n={\displaystyle \frac{x^{n-1}-1}{x-1}}={\displaystyle \frac{1-x^{n-1}}{1-x}}$$ であり、$a_n\to {\displaystyle \frac{1}{1-x}}$ となる。したがってこれらの境界も含まれる。ただし問題の条件より $x=y$ は除く。

一方、$x>1$ または $y>1$ のときは収束しない。実際、$x>1$ かつ $x>y$ なら $y^2{\displaystyle \frac{x^{n-1}-y^{n-1}}{x-y}}$ の中で $x^{n-1}$ が残って正の無限大に発散する。$y>1$ かつ $y>x$ なら、分子と分母はともに負の向きで大きくなり、絶対値としては $y^{n-1}$ が残って発散する。$x>1,y>1$ の場合も、$x\mathrm{\ne }y$ なので大きい方の指数項が打ち消されずに残る。よって有限値には収束しない。

以上より、求める範囲は $${\displaystyle 0<x\leqq 1,0<y\leqq 1,x\mathrm{\ne }y}$$ である。図示すれば、第1象限の正方形 $$0<x\leqq 1,0<y\leqq 1$$ から、対角線 $y=x$ 上の点を除いた部分である。特に $(1,1)$ は $x=y$ なので含まれない。